Question

Баржа прошла по течению реки 84 км и, повернув обратно, прошла ещё 66 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Answer 1

Обозначим собственную скорость баржи за x.

Составим уравнение, выразив в правой и левой части общее время в пути:

$\frac{84}{(x+5)}+\frac{66}{(x-5)}=10\\\frac{84(x-5)}{(x+5)(x-5)}+\frac{66(x+5)}{(x+5)(x-5)}=10\\\\150x-90=10(x^2-25)\\15x-9=x^2-25\\x^2-15x-16=0$

Один из корней легко угадывается, это (-1), тогда целесообразней воспользоваться формулами Виетта для отыскания второго корня:

$x_1= -1\\x_{1}*x_{2} = -16\\\\x_2=16$км/ч

Очевидно, что собственная скорость неотрицательная величина, следовательно корень x = -1 не является решением.

Тогда ответ: собственная скорость баржи составляет 16 км/ч

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать формулу расстояния, которая учитывает движение относительно течения реки. Пусть Vb - это скорость баржи, а Vr - скорость течения реки.

Когда баржа движется по течению реки, её эффективная скорость будет равна Vb + Vr, и когда она движется против течения реки, эффективная скорость будет Vb - Vr.

Сначала найдем время, затраченное на движение по течению реки. Расстояние, которое баржа пройдет по течению реки, равно 84 км, и её эффективная скорость будет Vb + Vr. Мы можем использовать формулу времени, расстояния и скорости:

Время = Расстояние / Скорость

Время для движения по течению реки: Время1 = 84 км / (Vb + 5 км/ч)

Теперь найдем время, затраченное на движение против течения реки. Расстояние, которое баржа пройдет против течения реки, равно 66 км, и её эффективная скорость будет Vb - Vr.

Время для движения против течения реки: Время2 = 66 км / (Vb - 5 км/ч)

Согласно условию задачи, общее время, затраченное на весь путь, равно 10 часам. То есть:

Время1 + Время2 = 10 часам

Теперь мы можем объединить выражения для Времени1 и Времени2 и решить уравнение:

(84 км) / (Vb + 5 км/ч) + (66 км) / (Vb - 5 км/ч) = 10 часам

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной (скорость баржи Vb). Решим его.

Сначала умножим обе стороны уравнения на общее знаменатель (Vb + 5 км/ч) * (Vb - 5 км/ч), чтобы избавиться от дробей:

84 км * (Vb - 5 км/ч) + 66 км * (Vb + 5 км/ч) = 10 часам * (Vb + 5 км/ч) * (Vb - 5 км/ч)

Теперь раскроем скобки и упростим уравнение:

84Vb - 420 км + 66Vb + 330 км = 10(Vb^2 - 25 км^2)

150Vb - 90 км = 10Vb^2 - 250 км^2

Переносим все члены уравнения на одну сторону:

10Vb^2 - 150Vb - 160 км^2 + 90 км = 0

10Vb^2 - 150Vb - 70 км = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение. Решим его, используя квадратное уравнение:

Vb = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Где a = 10, b = -150 и c = -70

Vb = (150 ± √(150^2 - 4 * 10 * (-70))) / (2 * 10)

Vb = (150 ± √(22500 + 2800)) / 20

Vb = (150 ± √25300) / 20

Vb = (150 ± 159.38) / 20

Теперь рассмотрим два случая:

1. Vb = (150 + 159.38) / 20 Vb = 309.38 / 20 Vb ≈ 15.47 км/ч

2. Vb = (150 - 159.38) / 20 Vb = -9.38 / 20 Vb ≈ -0.47 км/ч

Скорость баржи не может быть отрицательной, поэтому отбрасываем второй корень. Итак, скорость баржи равна примерно 15.47 км/ч.