Question

Решите неравенство (х+4)(х-2)(х-3)<0 и прикрепите фото решения. Для этого:1) Найдите нули функции f(x)=(x+4)(х-2)(х-3);2) Отметьте найденые значения на координатной прямой;3) Определите знаки функции на крайнем справа интервале;4) Определите знаки функции в остальных интервалах, используя чередование знаков;5) Выделите интервалы, в которых f(x)=0;6) Запишите ответ.​

Answer 1

Ответ:

Развёрнутый ответ на фото

Answer 2

Для решения неравенства \((x + 4)(x - 2)(x - 3) < 0\), мы можем использовать метод интервалов и анализа знаков функции. Давайте разберемся по шагам:

1. Найдем нули функции \(f(x) = (x + 4)(x - 2)(x - 3)\). Нули функции это те значения \(x\), при которых функция равна нулю. Для нашей функции нули будут соответствовать следующим уравнениям:

\((x + 4)(x - 2)(x - 3) = 0\)

Это уравнение можно решить, найдя нули каждого множителя:

- \(x + 4 = 0\) дает \(x = -4\). - \(x - 2 = 0\) дает \(x = 2\). - \(x - 3 = 0\) дает \(x = 3\).

Таким образом, нули функции: \(x = -4\), \(x = 2\), и \(x = 3\).

2. Отметим найденные значения на координатной прямой:

   -4  2  3
    |---|---|---|
   

Мы отметили точки -4, 2 и 3 на координатной прямой.

3. Определим знаки функции на крайних справа интервалах. Это означает, что мы должны выбрать точку справа от каждого из найденных нулей и определить знак функции в этой точке. Давайте выберем точки:

- Первый интервал: \(x > 3\), выберем, например, \(x = 4\). Тогда \(f(4) = (4 + 4)(4 - 2)(4 - 3) = 8 * 2 * 1 = 16 > 0\).

- Второй интервал: \(2 < x < 3\), выберем, например, \(x = 2.5\). Тогда \(f(2.5) = (2.5 + 4)(2.5 - 2)(2.5 - 3) = 6.5 * 0.5 * (-0.5) = -1.625 < 0\).

- Третий интервал: \(x < -4\), выберем, например, \(x = -5\). Тогда \(f(-5) = (-5 + 4)(-5 - 2)(-5 - 3) = (-1)(-7)(-8) = 56 > 0\).

4. Определим знаки функции в остальных интервалах, используя чередование знаков. Знаки будут чередоваться в следующем порядке: \(+\) \(-\) \(+\) \(-\).

5. Выделим интервалы, в которых \(f(x) = 0\). Мы уже знаем, что нули функции находятся в точках -4, 2 и 3.

6. Запишем ответ. Неравенство \((x + 4)(x - 2)(x - 3) < 0\) выполняется в интервалах, где функция \(f(x)\) имеет отрицательный знак. Исходя из анализа знаков, интервалами, в которых выполняется это неравенство, будут:

- Интервал между -4 и 2 (открытый интервал). - Интервал между 3 и плюс бесконечностью (открытый интервал).

Поэтому решение неравенства \((x + 4)(x - 2)(x - 3) < 0\) можно записать следующим образом:

\(-4 < x < 2\) и \(x > 3\).

Это и есть ответ.