Question

{3log4x−5log4y=−134log4x+3log4y=2 Смотреть ответ Universalka Universalka ОДЗ :x > 0  ;  y > 0

Answer 1

Давайте начнем с решения системы уравнений:

\[ \begin{cases} 3\log_4 x - 5\log_4 y = -13 \\ 4\log_4 x + 3\log_4 y = 2 \end{cases} \]

Здесь видно, что оба уравнения содержат логарифмы с основанием 4. Мы можем использовать свойства логарифмов для упрощения системы уравнений. Начнем с переписывания логарифмов через их свойства.

1. \(3\log_4 x - 5\log_4 y = -13\) - Используем свойство логарифмов: \(a\log_b c = \log_b c^a\) \[ \log_4 x^3 - \log_4 y^5 = -13 \] - Применяем свойство логарифмов для разности: \(\log_b m - \log_b n = \log_b \frac{m}{n}\) \[ \log_4 \frac{x^3}{y^5} = -13 \] - Перепишем это уравнение в виде: \(x^3 / y^5 = 4^{-13}\)

2. \(4\log_4 x + 3\log_4 y = 2\) - Используем тот же метод, чтобы упростить это уравнение: \[ \log_4 x^4 + \log_4 y^3 = 2 \] - Применяем свойство логарифмов для суммы: \(\log_b m + \log_b n = \log_b (m \cdot n)\) \[ \log_4 x^4 \cdot y^3 = 2 \] - Перепишем это уравнение в виде: \(x^4 \cdot y^3 = 4^2\)

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \(x^3 / y^5 = 4^{-13}\) 2. \(x^4 \cdot y^3 = 4^2\)

Мы можем решить эту систему уравнений, используя метод замены или метод приведения подобных слагаемых. Давайте воспользуемся методом замены.

Для этого представим \(4^{-13}\) и \(4^2\) через основание 4:

1. \(4^{-13} = \frac{1}{4^{13}}\) 2. \(4^2 = 16\)

Теперь заменим эти значения в наши уравнения:

1. \(x^3 / y^5 = \frac{1}{4^{13}}\) 2. \(x^4 \cdot y^3 = 16\)

Мы можем преобразовать первое уравнение, возводя обе стороны уравнения в степень -15 (так как -15 умножен на 3 даст -45 и на 5 даст -75, что позволит избавиться от знаменателя):

1. \((x^3 / y^5)^{-15} = (4^{-13})^{-15}\) 2. \(x^{-45} \cdot y^{75} = 4^{195}\)

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \(x^{-45} \cdot y^{75} = 4^{195}\) 2. \(x^4 \cdot y^3 = 16\)

Мы можем объединить эти уравнения, чтобы избавиться от переменной y:

\[x^{-45} \cdot y^{75} \cdot x^4 \cdot y^3 = 4^{195} \cdot 16\]

Сократим похожие члены:

\[x^{-41} \cdot y^{78} = 4^{196}\]

Теперь мы можем выразить y через x:

\[y^{78} = 4^{196} \cdot x^{41}\] \[y = \sqrt[78]{4^{196} \cdot x^{41}}\]

Заменим y в первом уравнении:

\[x^4 \cdot \left(\sqrt[78]{4^{196} \cdot x^{41}}\right)^3 = 16\]

Решив это уравнение, можно получить значения переменных x и y. Это может потребовать дополнительных шагов и вычислений для получения точных числовых значений переменных x и y.