Question

Вычисли сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 180, которые при делении на 5 дают остаток 1. Ответ: 1. искомое натуральное число имеет вид (запиши числа): .....⋅k+...... 2. Сколько имеется таких натуральных чисел, которые не превосходят 180: ...... 3. Запиши сумму заданных чисел: Sn=.......

Answer 1

Ответ:

1) 5k+1

2) 36

3) 3186

Объяснение:

1) искомое натуральное число имеет вид: 5k+1, где k∈N₀ (k - натуральное, либо 0)

2) подставляем вместо k возможные значения:

а) k=0 ⇒ 5*0+1=1

б) k=1 ⇒ 5*1+1=6

в) k=2 ⇒ 5*2+1=11

г) k=3 ⇒ 5*3+1=16 и т.д.

замечаем, что каждое следующее число больше предыдущего на 5, то есть имеем арифметическую прогрессию, где а₁=1; d=5

чтобы определить сколько таких чисел (n) нужно, воспользуемся формулой n-го члена:

$a_n=a_1+(n-1)d$

по условию у нас последний член не обязательно должен равняться 180, а только не должен его превышать (an≤180), значит запишем неравенство:

$a_1+(n-1)d\leq 180 \\ \\ 1+(n-1)*5\leq 180 \\ \\ (n-1)*5\leq 179 \\ \\ n-1\leq \frac{179}{5} \\ \\ n\leq \frac{179}{5} +1 \\ \\ n\leq 36.8$

наибольшее значение n, удовлетворяющее неравенству равно 36.

Значит всего 36 таких чисел.

3) при полученном n, находим an

$a_{36}=1+(36-1)*5=176$

находим сумму по формуле:

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}*n \\ \\ S_{36}=\frac{1+176}{2}*36= 3186$

Answer 2

Чтобы найти сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 180, которые при делении на 5 дают остаток 1, нужно первым шагом найти все такие числа.

1. Зная условие, что при делении на 5 число даёт остаток 1, мы можем записать это в виде уравнения: 5k + 1, где k - некоторое натуральное число. 2. Далее, мы замечаем, что чтобы получить все натуральные числа, которые удовлетворяют условию, мы можем подставлять вместо k все натуральные числа, начиная с 1 и до тех пор, пока получаемое значение не превышает 180.

Таким образом, запишем все такие числа: 1. 5 * 1 + 1 = 6 2. 5 * 2 + 1 = 11 3. 5 * 3 + 1 = 16 4. 5 * 4 + 1 = 21 5. 5 * 5 + 1 = 26 6. 5 * 6 + 1 = 31 ... 31. 5 * 31 + 1 = 156

Мы можем остановиться на этом шаге, так как следующее число, 5 * 32 + 1 = 161, уже превышает 180.

3. Теперь запишем сумму найденных чисел: s_n = 6 + 11 + 16 + 21 + 26 + 31 + ... + 156

Здесь мы видим, что данная сумма является арифметической прогрессией, где первый элемент a_1 = 6, последний элемент a_n = 156, а разность между элементами d = 5.

Мы можем воспользоваться формулой для суммы арифметической прогрессии: s_n = (n / 2) * (a_1 + a_n)

Для нашей задачи: s_n = (n / 2) * (6 + 156)

4. Нам нужно найти количество таких чисел, которые не превосходят 180. Для этого мы можем заметить, что последнее найденное число, 156, является максимальным числом, которое удовлетворяет условию. То есть, нам нужно найти количество чисел от 6 до 156, включая эти значения.

Количество чисел n = (156 - 6) / 5 + 1 = 31.

5. Подставим значение n в формулу для суммы арифметической прогрессии: s_n = (31 / 2) * (6 + 156) = 31 * 81 = 2511.

Итак, сумма всех натуральных чисел, не превосходящих 180, при делении на 5 дающих остаток 1, равна 2511.