Question

4. В урне находятся 7 белых и 3 черных шара. Подряд извлекают два шара. Какова вероятность того, что они оба черные?

Answer 1

ОТВЕТ: 1/15.

Решение. 1 способ. Пусть событие А - оба шара черные.

Воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события А найдем как отношение числа $m$ благоприятных исходов к числу $n$ всех возможных исходов: $p(A)=\frac{m}{n}$.

Всего шаров 7 + 3 = 10. Выбрать 2 шара из 10 - поскольку не учитывается порядок - можно $C_{10}^{2}$  способами, поэтому

$n=C_{10}^{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}=\frac{10\cdot9}{2}=45.$

Выбрать 2 черных шара из 3 можно $C_3^2$ способами, поэтому

$m=C_3^2=\frac{3!}{2!(3-2)!} =\frac{3}{1}=3.$

Итого $p(A)=\frac{3}{45}=\frac{1}{15}$

2 способ. Разобьем событие как бы на два других: В - первый шар будет черным; С - второй шар будет черным.

Вероятность $p(B)$ того, что первый шар будет черным, по определению вероятности равна  $\frac{3}{10}$, поскольку всего шаров 10, а черных - 3. После того, как взяли один черный шар, всего осталось 9 шаров, из которых 2 черных. Поэтому вероятность $p(C)$ того, что второй шар будет черный, равна $\frac{2}{9}$.

Поскольку необходимо, чтобы одновременно и первый, и второй шар были черными, искомую вероятность можно найти, перемножив вероятности событий В и С, т.е. $p(A) = p(B)\cdot p(C)=\frac{3}{10}\cdot\frac{2}{9}=\frac{1}{15}.$

Answer 2

Я могу помочь вам с решением задачи по вероятности.

4. В урне находятся 7 белых и 3 черных шара. Подряд извлекают два шара. Какова вероятность того, что они оба черные?

Для решения этой задачи нам нужно знать, что вероятность события A при условии, что произошло событие B, обозначается как P(A|B) и вычисляется по формуле:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

В нашем случае, событие A - это извлечение второго черного шара, а событие B - это извлечение первого черного шара. Таким образом, нам нужно найти вероятность пересечения этих двух событий и вероятность события B.

Вероятность пересечения A и B равна произведению вероятностей каждого события, если они независимы. Однако, в нашем случае, извлечение первого шара влияет на извлечение второго шара, так как уменьшает количество шаров в урне. Поэтому, мы должны учитывать это изменение в числителе формулы:

$$P(A \cap B) = P(B) \times P(A|B)$$

Вероятность события B равна отношению количества черных шаров в урне к общему количеству шаров в урне:

$$P(B) = \frac{3}{10}$$

Вероятность события A при условии, что произошло событие B, равна отношению количества черных шаров в урне после извлечения первого шара к общему количеству шаров в урне после извлечения первого шара:

$$P(A|B) = \frac{2}{9}$$

Теперь мы можем подставить эти значения в формулу для вероятности пересечения A и B:

$$P(A \cap B) = P(B) \times P(A|B) = \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{1}{15}$$

Наконец, мы можем подставить это значение в формулу для вероятности события A при условии, что произошло событие B:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{3}{10}} = \frac{2}{9}$$

Ответ: вероятность того, что два подряд извлеченных шара оба черные, равна $\frac{2}{9}$ или приблизительно 0.222.