Question

А)Решите уравнение 4cos^2x+8cos(x-3п/2)+1=0 Б)Найдите все корни этого уравнения,принадлежащие отрезку(3п;9п/2)

Answer 1

$4cos^2x+8cos(x-\frac{3\pi}{2})+1=0\\\\\star \; \; cos(x-\frac{3\pi}{2})=cos(\frac{3\pi}{2}-x)=-sinx\; \; ;\; \; cos^2x=1-sin^2x\; \; \star \\\\4(1-sin^2x)-8sinx+1=0\\\\4-4sin^2x-8sinx+1=0\\\\4sin^2x+8sinx-5=0\\\\t=sinx\; ,\; \; -1\leq t\leq 1\; \; ,\; \; 4t^2+8t-5=0\; ,\; D/4=16+20=36\; ,\\\\t_1=\frac{-4-6}{4}=-2,5$

Answer 2

А) Давайте решим уравнение 4cos^2(x) + 8cos(x - 3π/2) + 1 = 0. Для начала, заметим, что 4cos^2(x) можно переписать как 2cos(2x) + 2. Теперь у нас есть уравнение: 2cos(2x) + 2 + 8cos(x - 3π/2) + 1 = 0 Упростим его, выразив cos(2x) через cos(x) и sin(x) с использованием формулы двойного угла: 2(2cos^2(x) - 1) + 8cos(x)sin(x) + 1 = 0 Умножим все слагаемые на 2, чтобы избавиться от дробей: 4cos^2(x) - 2 + 8cos(x)sin(x) + 1 = 0 4cos^2(x) + 8cos(x)sin(x) - 1 = 0 Теперь давайте воспользуемся формулой двойного угла для синуса: 8cos(x)sin(x) = 4sin(2x) Подставим это значение в уравнение: 4cos^2(x) + 4sin(2x) - 1 = 0 Теперь мы можем использовать тригонометрическую подстановку. Пусть t = sin(x), тогда cos(x) = √(1 - t^2). Подставим это в уравнение: 4(1 - t^2) + 4sin(2x) - 1 = 0 4 - 4t^2 + 4(2t√(1 - t^2)) - 1 = 0 Упростим: 8t√(1 - t^2) = 4t^2 - 3 2t(4√(1 - t^2) - t) = 3 Теперь мы имеем уравнение вида 2tx = 3, где x = 4√(1 - t^2) - t. Давайте рассмотрим интервалы, на которых оно имеет корни. На интервале (-1, 1) значение √(1 - t^2) всегда положительно. Таким образом, для существования корней t должно быть положительным. Также, из уравнения 2tx = 3 следует, что t не может быть равным 0, так как в этом случае у нас не будет корней. Рассмотрим интервалы: 1. 0 < t < 1. На этом интервале 4√(1 - t^2) - t > 0, поэтому x = 4√(1 - t^2) - t > 0. 2. -1 < t < 0. На этом интервале 4√(1 - t^2) - t < 0, поэтому x = 4√(1 - t^2) - t < 0. Итак, у нас есть два интервала, на которых уравнение 2tx = 3 имеет корни. Теперь давайте рассмотрим эти интервалы в контексте исходного уравнения и найдем значения x: 1. 0 < t < 1: x > 0. Подставим это в t = sin(x): sin(x) > 0 на интервале (0, π). Таким образом, корни уравнения в этом интервале будут лежать в интервале (0, π). 2. -1 < t < 0: x < 0. Подставим это в t = sin(x): sin(x) < 0 на интервале (-π, 0). Таким образом, корни уравнения в этом интервале будут лежать в интервале (-π, 0). Итак, мы нашли интервалы, на которых уравнение имеет корни, и значения x на этих интервалах: 1. (0, π) 2. (-π, 0) Теперь перейдем ко второй части вашего вопроса. Б) Найдем все корни уравнения, принадлежащие отрезку (3π, 9π/2). Для этого мы должны определить, сколько периодов функции cos(2x) и sin(2x) содержится в данном интервале. Период функции cos(2x) равен π, а период функции sin(2x) также равен π. Таким образом, на интервале (3π, 9π/2) содержится 9π/2 - 3π = 3π/2 периодов. Мы знаем, что на интервале (0, 2π) функции cos(2x) и sin(2x) проходят чередующиеся максимумы и минимумы. Поэтому на интервале (3π, 9π/2) они также будут чередоваться. Так как на первом интервале (0, π) у нас есть корни, и они чередуются, то на интервале (3π, 9π/2) у нас также будут корни, и они будут чередоваться. Поэтому все корни на этом интервале можно найти следующим образом: 1. Вычисляем корни на интервале (0, π), как указано выше. 2. Добавляем к каждому корню кратное значение периода (π), чтобы получить корни на интервале (π, 2π). 3. Добавляем 2π к каждому корню из интервала (π, 2π), чтобы получить корни на интервале (2π, 3π). 4. Повторяем этот процесс для каждого периода на интерв