Question

Решите уравнение 3cos2х+4=5sin(х-3П/2) и укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-П/2;П]Решите уравнение 3cos в квадрате х-5sin-1=0 и укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7П/2;-3П/2]

Answer 1

484540. Решите уравнение .

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте разобьём его на два отдельных уравнения и найдём корни каждого из них.

Уравнение 1: 3cos(2x) + 4 = 5sin(x - 3π/2)

Для начала, перепишем уравнение, заменив cos^2(x) на (1 - sin^2(x)): 3(1 - sin^2(x)) + 4 = 5sin(x - 3π/2)

Упростим уравнение: 3 - 3sin^2(x) + 4 = 5sin(x - 3π/2) 7 - 3sin^2(x) = 5sin(x - 3π/2)

Теперь заменим sin(x - 3π/2) на cos(x): 7 - 3sin^2(x) = 5cos(x)

Перепишем уравнение в виде: 7 - 3(1 - cos^2(x)) = 5cos(x) 7 - 3 + 3cos^2(x) = 5cos(x) 3cos^2(x) - 5cos(x) + 4 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы дискриминанта: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

a = 3, b = -5, c = 4

Вычислим дискриминант: D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 3 * 4 = 25 - 48 = -23

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Но мы можем найти комплексные корни, используя формулу: x = (-b ± i√(-D)) / (2a)

x = (-(-5) ± i√(-(-23))) / (2 * 3) x = (5 ± i√23) / 6

Таким образом, корни уравнения 3cos^2(x) - 5cos(x) + 4 = 0 находятся в комплексных числах (5 ± i√23) / 6.

Уравнение 2: 3cos^2(x) - 5sin(x) - 1 = 0

Теперь перейдём ко второму уравнению.

3cos^2(x) - 5sin(x) - 1 = 0

Поскольку у нас нет синуса в квадрате, мы не можем применить тот же подход, что и в первом уравнении. Вместо этого воспользуемся тригонометрической идентичностью: sin^2(x) + cos^2(x) = 1.

Перепишем уравнение, заменив sin^2(x) на (1 - cos^2(x)): 3cos^2(x) - 5(1 - cos^2(x)) - 1 = 0

Раскроем скобки: 3cos^2(x) - 5 + 5cos^2(x) - 1 = 0

Сгруппируем члены: 8cos^2(x) - 6 = 0

Разделим на 2: 4cos^2(x) - 3 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

a = 4, b = 0, c = -3

Вычислим дискриминант: D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 * 4 * -3 = 0 - (-48) = 48

Вычислим корни: x = (-0 ± √48) / (2 * 4) x = ± √(48) / 8 x = ± √(16 * 3) / 8 x = ± (4√3) / 8 x = ± (√3) / 2

Таким образом, корни уравнения 3cos^2(x) - 5sin(x) - 1 = 0 находятся при x = ± (√3) / 2.

Поиск корней на отрезке [-π/2, π] и [-7π/2, -3π/2]

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку [-π/2, π] для каждого из уравнений.

1. Для уравнения 3cos(2x) + 4 = 5sin(x - 3π/2): - Подставим значения x на отрезке [-π/2, π] в уравнение и найдем корни: - При x = -π/2: 3cos(2(-π/2)) + 4 = 5sin(-π/2 - 3π/2) 3cos(-π) + 4 = 5sin(-2π) 3(-1) + 4 = 5(0) -3 + 4 = 0 1 = 0 (нет решений)

- При x = 0: 3cos(2(0)) + 4 = 5sin(0 - 3π/2) 3cos(0) + 4 = 5sin(-3π/2) 3(1) + 4 = 5(-1) 3 + 4 = -5 7 = -5 (нет решений)

- При x = π/2: 3cos(2(π/2)) + 4 = 5sin(π/2 - 3π/2) 3cos(π) + 4 = 5sin(-π) 3(-1) + 4 = 5(0) -3 + 4 = 0 1 = 0 (нет решений)

- Таким образом, уравнение 3cos(2x) + 4 = 5sin(x - 3π/2) не имеет корней на отрезке [-π/2, π].

2. Для уравнения 3cos^2(x) - 5sin(x) - 1 = 0: - Подставим значения x на отрезке [-π/2, π] в уравнение и найдем корни: - При x = -π/2: 3cos^2(-π/2) - 5sin(-π/2) - 1 = 0 3(0) - 5(-1) - 1 = 0 0 + 5 - 1 = 0 4 = 0 (нет решений)

- При x = 0: 3cos^2(0) - 5sin(0) - 1 = 0 3(1) - 5(0) - 1 = 0 3 - 0 - 1 = 0 2 = 0 (нет решений)

- При x = π/2: 3cos^2(π/2) - 5sin(π/2) - 1 = 0 3(0) - 5(1) - 1 = 0 0 - 5 - 1 = 0 -6 = 0 (нет решений)

- Таким образом, уравнение 3cos^2(x) - 5sin(x) - 1 = 0 не имеет корней на отрезке [-π/2, π].

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку [-7π/2, -3π/2] для каждого из уравнений.

1. Для уравнения 3cos(2x) + 4 = 5sin(x - 3π/2): - Подставим значения x на отрезке [-7π/2, -3π/2] в уравнение и найдем корни: - При x = -7π/2: 3cos(2(-7π/2)) + 4 = 5sin(-7π/2 -