Question

Помогите решить тригонометрию. 1.Найдите значение выражения: корень из 8 sin5П/8 *cos5П/8 2. Решите уравнение: sin 2x - 2sin x+4sin^2 x/2=0 Сколько корней уравнения принадлежат отрезку [-П/2;П] Укажите в градусах наименьший и наибольший корень уравнения, принадлежащий отрезку [-П/2;П] 3.Решите уравнение: 6sin^2 x-5sin x -4=0 Сколько корней уравнения принадлежат отрезку [-П/2;П] Укажите в градусах наименьший и наибольший корень уравнения, принадлежащий отрезку [-П/2;П]

Answer 1

Смотри приложенное решение

Answer 2

Давайте по порядку решим каждое из предложенных уравнений.

1. Найдите значение выражения: корень из 8 sin(5π/8) * cos(5π/8):

Мы знаем, что sin(5π/8) * cos(5π/8) = sin(2θ) = 1/2 * sin(10π/8) = 1/2 * sin(5π/4) = 1/2 * (-√2/2) = -√2/4.

Теперь вычислим корень из 8 * (-√2/4) = -√2.

2. Решите уравнение: sin(2x) - 2sin(x) + 4sin^2(x/2) = 0:

Заметим, что sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2, поэтому уравнение примет вид:

sin(2x) - 2sin(x) + 2(1 - cos(2x)) = 0.

Раскроем скобки:

sin(2x) - 2sin(x) + 2 - 2cos(2x) = 0.

Перенесем все в одну сторону:

sin(2x) - 2sin(x) - 2cos(2x) + 2 = 0.

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x) и cos(2x) = 2cos^2(x) - 1.

Подставим эти тождества в уравнение:

2sin(x)cos(x) - 2sin(x) - 2(2cos^2(x) - 1) + 2 = 0.

Упростим:

2sin(x)cos(x) - 2sin(x) - 4cos^2(x) + 2 = 0.

Теперь выразим sin(x) через cos(x):

sin(x) = 2cos(x) - 1.

Теперь заменим второй член в уравнении:

2(2cos(x) - 1)cos(x) - 2cos(x) - 4cos^2(x) + 2 = 0.

Раскроем скобки:

4cos^2(x) - 2cos(x) - 2cos(x) + 2 - 2 = 0.

Упростим:

4cos^2(x) - 4cos(x) = 0.

Вынесем общий множитель:

4cos(x)(cos(x) - 1) = 0.

Теперь получим два уравнения:

1. cos(x) = 0

2. cos(x) - 1 = 0

3. cos(x) = 0:

x = π/2 + kπ, где k - целое число.

2. cos(x) - 1 = 0:

cos(x) = 1.

x = 2kπ, где k - целое число.

Теперь найдем корни, которые принадлежат отрезку [-π/2; π]:

Наименьший корень - π/2.

Наибольший корень - π.

3. Решите уравнение: 6sin^2(x) - 5sin(x) - 4 = 0:

Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся квадратным трехчленом.

Получаем:

sin(x) = (5 ± √(5^2 - 4 * 6 * (-4))) / (2 * 6),

sin(x) = (5 ± √(25 + 96)) / 12,

sin(x) = (5 ± √121) / 12.

1. sin(x) = (5 + 11) / 12 = 16/12 = 4/3.

Это решение не подходит, так как синус не может быть больше 1 по модулю.

2. sin(x) = (5 - 11) / 12 = -6/12 = -1/2.

Теперь найдем угол, у которого синус равен -1/2:

x = -π/6 + 2kπ, где k - целое число.

Теперь найдем корни, которые принадлежат отрезку [-π/2; π]:

Наименьший корень: -π/6.

Наибольший корень: π.

Итак, уравнение имеет два корня на отрезке [-π/2; π], а именно -π/6 и π.