Question

Найти cos3(x+y), если:(система уравнений):{cos(2x+y)-cos(2y+x)=1/2{sin(2x+y)-sin(2y+x)=1 Смотреть ответ Удачник66 Удачник66 cos(3x+3y) = cos((2x+y) + (2y+x)) = cos(2x+y)*cos(2y+x) - sin(2x+y)*sin(2y+x) Обозначим 2x+y = a; 2y+x = b. Нам надо найти: cos a*cos b - sin a*sin b Нам известно: { cos a - cos b = 1/2 { sin a - sin b = 1 Возводим в квадрат оба уравнения { (cos a - cos b)^2 = cos^2 a - 2cos a*cos b + cos^2 b = 1/4 { (sin a - sin b)^2 = sin^2 a - 2sin a*sin b + sin^2 b = 1 Складываем уравнения cos^2 a + sin^2 a - 2(cos a*cos b + sin a*sin b) + cos^2 b + sin^2 a = 5/4 1 - 2cos(a-b) + 1 = 5/4 cos(a-b) = 2 - 5/4 = 3/4 Ответ: 3/4 Да, значит, я ошибся Но ведь надо было найти cosa*cosb—sina*sinb, это по формуле равно cos(a+b), а находим в итоге cos(a-b)..

Answer 1

Да, вы правы. В вашем решении была допущена ошибка. Изначально нам действительно нужно было найти выражение для cos(3x + 3y), используя уравнения:

1. cos(2x + y) - cos(2y + x) = 1/2
2. sin(2x + y) - sin(2y + x) = 1

Давайте попробуем решить задачу заново:

Обозначим: 2x + y = a и 2y + x = b.

Теперь, нам нужно найти cos(3x + 3y), что эквивалентно cos(a + b). Для этого воспользуемся тригонометрической формулой для cos суммы углов:

cos(a + b) = cos a * cos b - sin a * sin b

Из уравнений:

1. cos a - cos b = 1/2
2. sin a - sin b = 1

Возводим в квадрат оба уравнения:

1. (cos a - cos b)^2 = cos^2 a - 2cos a * cos b + cos^2 b = 1/4
2. (sin a - sin b)^2 = sin^2 a - 2sin a * sin b + sin^2 b = 1

Складываем уравнения:

cos^2 a - 2cos a * cos b + cos^2 b + sin^2 a - 2sin a * sin b + sin^2 b = 5/4

Замечаем, что тут есть выражения cos^2 a + sin^2 a и cos^2 b + sin^2 b, которые равны 1 по тригонометрическому тождеству. Поэтому:

1 - 2cos a * cos b - 2sin a * sin b = 5/4

Перепишем уравнение, используя тригонометрическую формулу для sin суммы углов (sin(a + b) = sin a * cos b + cos a * sin b):

1 - 2(sin a * cos b + cos a * sin b) = 5/4

1 - 2sin(a + b) = 5/4

Теперь находим sin(a + b):

2sin(a + b) = 1 - 5/4 2sin(a + b) = 1/4 sin(a + b) = 1/8

Теперь, чтобы найти cos(a + b), используем тригонометрическую формулу для cos суммы углов:

cos(a + b) = cos a * cos b - sin a * sin b

cos(a + b) = cos(2x + y) * cos(2y + x) - sin(2x + y) * sin(2y + x)

Теперь мы можем воспользоваться изначальными уравнениями:

1. cos(2x + y) - cos(2y + x) = 1/2
2. sin(2x + y) - sin(2y + x) = 1

Таким образом, получим:

cos(a + b) = 1/2 - sin(a + b) = 1/2 - 1/8 = 3/8

Итак, правильный ответ: cos(3x + 3y) = 3/8.