Question

Через точку, делящую высоту конуса в отношение 1 : 2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объем этого конуса, если объем конуса, отсекаемого от данного конуса, проведенной плоскостью, равен 20.

Answer 1

Ответ:

540

Пошаговое объяснение:

R₁ = R - радиус основания малого конуса

R₂ = 3R - радиус основания большого конуса

Н₁ = Н - высота малого конуса

Н₂ = 3Н - высота большого конуса

V₁ = 1/3 · πR₁² · H₁  = 1/3 · πR² · H

V₂ = 1/3 · πR₂² · H₂  = 1/3 · π · 9R² · 3H = 27 · 1/3 · πR² · H = 27 · V₁

V₂ = 27 · 20 = 540

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим известные величины:

Пусть H - высота исходного конуса. V - объем исходного конуса, который нам нужно найти. V_отс - объем конуса, отсекаемого плоскостью.

Из условия задачи у нас есть отношение, которое делит высоту H конуса на две части: одна часть равна H_1 = H / 3 (от вершины до точки пересечения плоскости), а вторая часть равна H_2 = 2 * H / 3 (от точки пересечения плоскости до основания).

Также, известно, что объем отсеченного конуса равен V_отс = 20.

Объем конуса можно вычислить по формуле: V = (1/3) * π * r^2 * H, где r - радиус основания конуса.

Мы знаем, что плоскость параллельна основанию и пересекает высоту конуса в точке H_1, следовательно, радиус основания отсеченного конуса будет равен радиусу исходного конуса. Таким образом, r_отс = r.

Теперь, чтобы найти объем исходного конуса V, нам нужно вычесть объем отсеченного конуса V_отс из объема исходного конуса V.

V = V - V_отс V = (1/3) * π * r^2 * H - V_отс V = (1/3) * π * r^2 * H - 20

Мы знаем, что V_отс = 20, и получили уравнение для V. Теперь, нам нужно выразить r^2 * H.

Для этого рассмотрим подобные конусы - исходный и отсекаемый. По свойству подобных фигур, отношение объемов двух подобных конусов равно кубу отношения соответствующих радиусов:

V / V_отс = (r / r_отс)^3

Так как r_отс = r, мы можем записать:

V / 20 = (r / r)^3 V / 20 = 1 V = 20

Теперь у нас есть значение V, и мы можем вычислить объем исходного конуса:

V = (1/3) * π * r^2 * H 20 = (1/3) * π * r^2 * H

Теперь, чтобы найти объем исходного конуса V, нам нужно найти r^2 * H.

r^2 * H = 20 / ((1/3) * π) r^2 * H = 20 / (π / 3) r^2 * H = 60 / π

Теперь у нас есть значение r^2 * H, и мы знаем, что высота конуса делится на 1:2 от вершины до точки пересечения плоскости.

H_1 = H / 3 H_2 = 2 * H / 3

Следовательно,

r^2 * H = r^2 * (H_1 + H_2) 60 / π = r^2 * (H / 3 + 2 * H / 3) 60 / π = r^2 * H

Теперь можем выразить r^2:

r^2 = 60 / (π * H)

Теперь подставим значение r^2 в формулу для объема конуса:

V = (1/3) * π * r^2 * H V = (1/3) * π * (60 / (π * H)) * H V = 20

Таким образом, объем исходного конуса V равен 20.