Question

Решить уравнение разложением на множители (х+2)√х^2-х-20=6х+12

Answer 1

одз подкоренное выражение x² - x - 20 ≥ 0

D=1 + 80 = 81

x12=(1+-9)/2 = -4  5

++++++++++[-4] ------------- [5] +++++++++

x∈(-∞  -4] U [5  +∞)

(х+2)√(х²-х-20) = 6х+12

(х+2)√(х²-х-20) = 6(х+2)

x=-2 не является корнем так как не проходит по ОДЗ значит можно разделить на х+2

√(х²-х-20) = 6

возводим в квадрат

х²-х-20 = 36

х²-х-56 = 0

D= 1 - 4 * 1* (-56) = 225 = 15²

x12=(1 +-15)/2 = - 7   8

x1=-7  проходит по ОДЗ

х2=8 проходит по одз

ответ {-7, 8}

Answer 2

Чтобы решить данное уравнение с использованием метода разложения на множители, следует выполнить следующие шаги:

1. Перенесем все члены уравнения на одну сторону, чтобы уравнение приобрело вид, подходящий для разложения на множители:

(х + 2)√(х^2 - х - 20) - 6х - 12 = 0

2. Заметим, что под корнем внутри скобки (х^2 - х - 20) можно разложить на множители. Для этого найдем два числа a и b такие, что их произведение равно -20, а сумма равна -1 (коэффициент перед x):

a * b = -20 a + b = -1

Чтобы найти такие числа, разложим -20 на множители:

-20 = -1 * 20 = 1 * (-20) = 2 * (-10) = 4 * (-5)

Следовательно, парой чисел a и b будут 4 и -5, так как их сумма равна -1. Теперь мы можем разложить нашу квадратную функцию:

x^2 - x - 20 = (x - 5)(x + 4)

3. Подставим это разложение в наше уравнение:

(х + 2)√((x - 5)(x + 4)) - 6х - 12 = 0

4. Воспользуемся теперь тем фактом, что квадратный корень из произведения двух множителей равен корню из каждого из них, умноженному друг на друга. То есть √(ab) = √a * √b. Применяя это к нашему уравнению, получим:

(х + 2)√(x - 5)√(x + 4) - 6х - 12 = 0

5. Теперь у нас есть уравнение с двумя квадратными корнями. Выразим каждый корень отдельно:

√(x - 5)√(x + 4) = (6x + 12) / (x + 2)

6. Теперь возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

(x - 5)(x + 4) = (6x + 12) / (x + 2)^2

7. Упростим обе стороны уравнения:

(x^2 - 5x + 4x - 20) = (6x + 12) / (x^2 + 4x + 4)

8. Продолжим упрощение:

(x^2 - x - 20) = (6x + 12) / (x^2 + 4x + 4)

9. Умножим обе стороны уравнения на (x^2 + 4x + 4), чтобы избавиться от дроби:

(x^2 - x - 20)(x^2 + 4x + 4) = 6x + 12

10. Раскроем скобки:

x^4 + 4x^3 + 4x^2 - x^3 - 4x^2 - 4x - 20x^2 - 80x - 80 = 6x + 12

11. Упростим уравнение:

x^4 + 3x^3 - 24x - 80 = 6x + 12

12. Теперь приведем все члены уравнения в правильный порядок:

x^4 + 3x^3 - 6x - 92 = 0

13. Это уравнение не разлагается на множители, поэтому для его решения придется использовать другие методы, например, метод численного решения, метод Горнера, или компьютерные программы. Решение этого уравнения превышает возможности аналитического метода разложения на множители.