Question

При каких значениях m решением реравенства x²-6x+m<0 будет промежуток (1;5)

Answer 1

решим  уравнение x²-6x+m=0
D=36-4m=4(9-m)
уранение должно иметь два решения, поэтому D>0
9-m>0
m<9
√D=2√(9-m)
x₁=(6-2√(9-m))/2=3-√(9-m)
x₂=(6+2√(9-m))/2=3+√(9-m)

решением неравенства x²-6x+m<0 будет промежуток (1;5) если x₁=1 и х₂=5
Получаем два уравнения
3-√(9-m)=1
3+√(9-m)=5
Решим первое из них
√(9-m)=2
9-m=4
m=5
решим второе
√(9-m)=2
m=5
все сошлось!
Ответ: при m=5

Answer 2

Чтобы найти значения параметра m, при которых неравенство x² - 6x + m < 0 имеет промежуток (1; 5) в качестве решения, мы можем воспользоваться методом анализа знаков квадратного трехчлена.

Начнем с квадратного трехчлена x² - 6x + m. Чтобы найти, при каких значениях m данное уравнение имеет корни, равные 1 и 5 (и, следовательно, при каких значениях m неравенство будет выполняться на интервале (1; 5)), рассмотрим дискриминант этого квадратного трехчлена.

Дискриминант D равен: D = b² - 4ac, где a = 1, b = -6 и c = m.

D = (-6)² - 4 * 1 * m = 36 - 4m.

Для того чтобы неравенство x² - 6x + m < 0 имело корни, равные 1 и 5, дискриминант D должен быть положительным (D > 0) и квадратное уравнение должно иметь два действительных корня. Корни равны:

x₁ = (-b + √D) / (2a) = (6 + √(36 - 4m)) / 2, x₂ = (-b - √D) / (2a) = (6 - √(36 - 4m)) / 2.

Чтобы оба корня были в интервале (1; 5), нужно выполнение следующих условий:

1. 1 < x₁ < 5 2. 1 < x₂ < 5

Теперь рассмотрим каждое из этих условий:

1. 1 < (6 + √(36 - 4m)) / 2 < 5

Умножим все части неравенства на 2:

2 < 6 + √(36 - 4m) < 10

Вычтем 6 из всех частей неравенства:

-4 < √(36 - 4m) < 4

Теперь возводим все части неравенства в квадрат (заметьте, что мы можем это сделать, так как мы знаем, что 36 - 4m > 0, чтобы корни были действительными):

16 > 36 - 4m > 0

Теперь выразим m:

16 > 36 - 4m

4m > 36 - 16

4m > 20

m > 5

2. 1 < (6 - √(36 - 4m)) / 2 < 5

Умножим все части неравенства на 2:

2 < 6 - √(36 - 4m) < 10

Вычтем 6 из всех частей неравенства:

-4 < -√(36 - 4m) < 4

Помним, что -√(36 - 4m) < 0, так как корни действительны, и умножим все части неравенства на -1 (не меняя направление неравенства):

4 > √(36 - 4m) > 0

Теперь возводим все части неравенства в квадрат:

16 > 36 - 4m > 0

И снова выразим m:

16 > 36 - 4m

4m > 36 - 16

4m > 20

m > 5

Таким образом, неравенство x² - 6x + m < 0 будет выполняться на интервале (1; 5) при значениях параметра m, которые больше 5.