Question

Записать уравнение касательной функции f(x)= x^3-2x^2+1 в точке x0=2

Answer 1

F(x)=x³-2x²+1   x₀=2
yk=y(x₀)+y`(x₀)*(x-x₀)
y(2)=2³-2*2²+1=8-2*4+1=8-8+1=1
y`(2)=3*x²-2*2*x=3x²-4x=3*2²-4*2=3*4-8=12-8=4  ⇒
yk=1+4*(x-2)=1+4x-8=4x-7.
Ответ: yk=4x-7.

Answer 2

Уравнение касательной к функции f(x) в точке x0 можно записать, используя производную функции f(x) в этой точке и уравнение касательной линии в форме y = mx + b, где m - это наклон касательной линии, а b - точка, в которой касательная линия касается графика функции. Наклон касательной линии m равен производной функции f(x) в точке x0. Исходная функция:

f(x) = x^3 - 2x^2 + 1

Вычислим производную f(x):

f'(x) = 3x^2 - 4x

Теперь найдем значение производной в точке x0 = 2:

f'(2) = 3(2^2) - 4(2) = 12 - 8 = 4

Таким образом, наклон касательной линии в точке x0 = 2 равен 4.

Чтобы найти b (точку, в которой касательная линия касается графика функции), подставим x0 = 2 и значение производной m = 4 в уравнение касательной линии:

y = mx + b y = 4x + b

Теперь мы можем использовать x0 = 2 и значение функции f(x) в этой точке, чтобы найти b:

f(2) = 2^3 - 2(2)^2 + 1 = 8 - 8 + 1 = 1

Теперь мы знаем, что точка (2, 1) лежит на касательной линии. Таким образом, b = 1.

Итак, уравнение касательной к функции f(x) = x^3 - 2x^2 + 1 в точке x0 = 2 выглядит следующим образом:

y = 4x + 1