Question

Докажите, что при всех действительных значениях a выполняется неравенство: (2a-5)(2a+5)-(3a-2)²<=2(a-12)

Answer 1

Перенесем все в левую часть неравенства и выполним преобразование

4a^2-25-(9a^2-12a+4)-2*(1-12)=4a^2-25-9a^2+12a-4-2а+24=-5a^2+10a-5=

-5(a^2-2a+1)=-5*(a-1)^2<=0  при любых а.

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, давайте разберемся с левой и правой сторонами неравенства по отдельности и покажем, что оно верно для всех действительных значений a.

Исходное неравенство:

(2a-5)(2a+5) - (3a-2)² ≤ 2(a-12)

Рассмотрим левую сторону:

(2a-5)(2a+5) - (3a-2)²

Раскроем скобки:

(4a² - 25) - (9a² - 12a + 4)

Теперь выразим разность:

4a² - 25 - 9a² + 12a - 4

Далее, объединим подобные члены:

(4a² - 9a²) + (12a - 25 - 4)

-5a² + 12a - 29

Теперь рассмотрим правую сторону неравенства:

2(a - 12)

Раскроем скобку:

2a - 24

Таким образом, неравенство примет вид:

-5a² + 12a - 29 ≤ 2a - 24

Теперь, выразим всё в одну сторону и упростим:

-5a² + 12a - 29 - 2a + 24 ≤ 0

-5a² + 10a - 5 ≤ 0

Теперь, чтобы доказать, что данное неравенство выполняется для всех действительных значений a, мы можем воспользоваться методом исследования знаков квадратного трехчлена. Для этого найдем корни уравнения -5a² + 10a - 5 = 0:

-5a² + 10a - 5 = 0

Разделим обе стороны на -5:

a² - 2a + 1 = 0

(a - 1)² = 0

Отсюда получаем, что a = 1.

Теперь мы знаем, что квадратный трехчлен -5a² + 10a - 5 достигает своего минимального значения при a = 1. Исследуем знак этого выражения в трех интервалах:

1. a < 1: В этом интервале (a - 1) отрицательно, и, следовательно, -5a² + 10a - 5 отрицательно.

2. a = 1: В точке a = 1, значение выражения -5a² + 10a - 5 равно 0.

3. a > 1: В этом интервале (a - 1) положительно, и, следовательно, -5a² + 10a - 5 отрицательно.

Таким образом, мы видим, что -5a² + 10a - 5 не превышает 0 при всех значениях a, кроме a = 1, где оно равно 0. Следовательно, исходное неравенство:

-5a² + 12a - 29 ≤ 2a - 24

выполняется для всех действительных значений a.