Question

Найдите точку максимума функции f(x)=x^3+x^2-8x

Answer 1

Y=x^3+x^2-8x
y'=3x^2+2x-8
D=4-4*3*-8=100
x_{1,2} = -2+/-10/6
x_1 = 8/6 ; x_2 = -2 
(x-8/6)(x+2)=0
_____-2_______8/6______
      +             -                 +
-2 - точка максимума.

Answer 2

Для нахождения точки максимума функции f(x) = x^3 + x^2 - 8x, мы можем воспользоваться производной функции. Точка максимума функции соответствует месту, где ее производная равна нулю и меняет знак с отрицательного на положительный.

Вычисление производной функции

Для начала, найдем производную функции f(x). Для этого мы возьмем каждый член функции и применим правила дифференцирования:

f'(x) = d/dx (x^3 + x^2 - 8x)

Используя правила дифференцирования, получим:

f'(x) = 3x^2 + 2x - 8

Нахождение точки максимума

Теперь, чтобы найти точку максимума, мы приравняем производную функции к нулю и решим полученное уравнение:

3x^2 + 2x - 8 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя различные методы, такие как факторизация, полное квадратное разложение или формулу дискриминанта. В данном случае, мы воспользуемся формулой дискриминанта:

Для уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, дискриминант D вычисляется по формуле:

D = b^2 - 4ac

В нашем случае:

a = 3, b = 2, c = -8

D = (2)^2 - 4(3)(-8) = 4 + 96 = 100

Так как дискриминант D положительный (D > 0), то у нас есть два корня уравнения.

Нахождение корней уравнения

Для нахождения корней уравнения, мы можем использовать формулу квадратного корня:

x = (-b ± √D) / 2a

В нашем случае:

x = (-2 ± √100) / (2 * 3) x = (-2 ± 10) / 6

Таким образом, у нас есть два корня:

x1 = (-2 + 10) / 6 = 8 / 6 = 4 / 3 x2 = (-2 - 10) / 6 = -12 / 6 = -2

Проверка знака производной

Теперь, чтобы определить, где производная меняет знак с отрицательного на положительный, мы можем выбрать точки между корнями и проверить знак производной в этих точках.

Выберем точку x = 0:

f'(0) = 3(0)^2 + 2(0) - 8 = -8

Производная в точке x = 0 отрицательна.

Выберем точку x = 1:

f'(1) = 3(1)^2 + 2(1) - 8 = -3 + 2 - 8 = -9

Производная в точке x = 1 также отрицательна.

Таким образом, производная функции отрицательна в интервале (-∞, x1) и (-∞, x2), что означает, что функция убывает в этих интервалах.

Ответ

Таким образом, точка максимума функции f(x) = x^3 + x^2 - 8x находится в интервале (x1, x2), где x1 = 4/3 и x2 = -2. Значение функции в этой точке можно найти, подставив x в исходную функцию f(x):

f(x1) = (4/3)^3 + (4/3)^2 - 8*(4/3) f(x2) = (-2)^3 + (-2)^2 - 8*(-2)