Question

Разложите на множители: x^4-x^2(y^2+1)+y^2

Answer 1

X^4-x²y²-x²+y²=x²(x²-y²)-(x²-y²)=(x²-y²)(x²-1)=(x-y)(x+y)(x-1)(x+1)

Answer 2

Для разложения данного выражения на множители, давайте введем временную замену, чтобы упростить его:

Пусть $a = x^2$ и $b = y^2$. Тогда данное выражение можно записать следующим образом:

$a^2 - ab - b + 1$

Теперь давайте попробуем разложить его на множители. Это можно сделать с помощью метода факторизации. Начнем с группировки членов:

$a^2 - (ab + b) + 1$

Затем мы можем факторизировать первые два члена:

$a^2 - (ab + b) + 1 = a^2 - (a + 1)b + 1$

Теперь давайте попробуем разложить это выражение на множители. Мы видим, что это квадратное выражение, поэтому давайте воспользуемся квадратным трехчленом:

$(a - 1)^2 - b$

Теперь мы видим, что это разность двух квадратов:

$(a - 1)^2 - b = (a - 1 + \sqrt{b})(a - 1 - \sqrt{b})$

Теперь мы можем заменить обратно $a$ и $b$ на их исходные значения:

$(x^2 - 1 + \sqrt{y^2})(x^2 - 1 - \sqrt{y^2})$

Теперь разложение на множители исходного выражения выглядит так:

$(x^2 - 1 + y)(x^2 - 1 - y)$

Таким образом, исходное выражение $x^4 - x^2(y^2 + 1) + y^2$ разлагается на множители как $(x^2 - 1 + y)(x^2 - 1 - y)$.