Question

Составьте уравнение касательной до графика функции g (x)=х^2-3x, которая параллельна прямой у=5х+11

Answer 1

Уравнение касательной к графику функции $y=g(x)$ в точке $x_0$ имеет вид:

$y_k=g(x_0)+g'(x_0)(x-x_0)$

Рассмотрим функцию:

$g (x)=x^2-3x$

Найдем ее производную:

$g' (x)=2x-3$

По условию, точка касания неизвестна, но известно, что касательная параллельна прямой $y=5x+11$. Из этого следует, что угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту заданной прямой, то есть:

$g'(x_0)=5$

С другой стороны, значение производной в точке касания:

$g' (x_0)=2x_0-3$

Составим и решим уравнение:

$2x_0-3=5$

$2x_0=8$

$x_0=4$

Найдем значение функции в точке касания:

$g (x_0)=4^2-3\cdot4=16-12=4$

Теперь известные все данные для составления уравнения касательной:

$y_k=4+5(x-4)$

$y_k=4+5x-20$

$\boxed{y_k=5x-16}$

Answer 2

Для найти уравнение касательной к графику функции g(x) = x^2 - 3x, параллельной прямой y = 5x + 11, мы должны найти производную функции g(x) и использовать ее значение в точке пересечения для составления уравнения касательной.

1. Найдем производную функции g(x): g'(x) = 2x - 3.

2. Прямая y = 5x + 11 имеет наклон (или коэффициент наклона) равный 5, и касательная к графику g(x) также должна иметь наклон 5, чтобы быть параллельной.

3. Теперь найдем точку пересечения между g(x) и прямой y = 5x + 11. Пусть (a, b) - это точка пересечения. Тогда у нас есть:

g(a) = a^2 - 3a = 5a + 11.

4. Решим это уравнение относительно a:

a^2 - 3a = 5a + 11, a^2 - 3a - 5a - 11 = 0, a^2 - 8a - 11 = 0.

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac, D = (-8)^2 - 4(1)(-11), D = 64 + 44, D = 108.

Теперь используем формулу для нахождения двух корней:

a = (-b ± √D) / (2a).

a1 = (8 + √108) / 2, a1 = (8 + 2√27) / 2, a1 = 4 + √27.

a2 = (8 - √108) / 2, a2 = (8 - 2√27) / 2, a2 = 4 - √27.

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (4 + √27, g(4 + √27)) и (4 - √27, g(4 - √27)).

5. Теперь найдем значения g(a) для этих двух точек:

g(4 + √27) = (4 + √27)^2 - 3(4 + √27), g(4 + √27) = 16 + 8√27 + 27 - 12 - 3√27, g(4 + √27) = 31 + 5√27.

g(4 - √27) = (4 - √27)^2 - 3(4 - √27), g(4 - √27) = 16 - 8√27 + 27 - 12 + 3√27, g(4 - √27) = 31 - 5√27.

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (4 + √27, 31 + 5√27) и (4 - √27, 31 - 5√27).

6. Теперь, используя найденные точки (a, g(a)), мы можем найти наклон касательной:

g'(a) = 2a - 3.

Для точки (4 + √27, 31 + 5√27):

g'(4 + √27) = 2(4 + √27) - 3.

Для точки (4 - √27, 31 - 5√27):

g'(4 - √27) = 2(4 - √27) - 3.

7. Теперь мы можем написать уравнение касательной в общем виде:

y - g(a) = g'(a)(x - a).

Для первой точки (4 + √27, 31 + 5√27):

y - (31 + 5√27) = (2(4 + √27) - 3)(x - (4 + √27)).

Для второй точки (4 - √27, 31 - 5√27):

y - (31 - 5√27) = (2(4 - √27) - 3)(x - (4 - √27)).

Теперь у нас есть уравнения касательных, параллельных прямой y = 5x + 11, и проходящих через точки пересечения графика g(x) и этой прямой.