Question

Найдите коэффициент третьего члена в разложении по формуле бинома Ньютона: (a+x)12

Answer 1

$(a+x)^{12}=a^{12}+C_{12}^1a^{11}\cdot x+C_{12}^2a^{10}\cdot x^2+...\\\\C_{12}^2=\frac{12\cdot 11}{2!}=66$

Answer 2

Коэффициент третьего члена в разложении по формуле бинома Ньютона для выражения (a + x)^12 можно найти с помощью биномиального коэффициента (комбинаторного коэффициента). Этот коэффициент будет равен C(12, 3), где C(n, k) обозначает биномиальный коэффициент.

Биномиальный коэффициент C(n, k) вычисляется по формуле:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

где n! (n факториал) - это произведение всех положительных целых чисел от 1 до n.

В данном случае: n = 12 (порядок степени), k = 3 (мы ищем коэффициент третьего члена).

Вычислим C(12, 3):

C(12, 3) = 12! / (3! * (12 - 3)!) C(12, 3) = 12! / (3! * 9!)

Теперь вычислим факториалы:

12! = 12 * 11 * 10 * 9! (мы далее упростим 12!) 3! = 3 * 2 * 1

Теперь мы можем записать C(12, 3) в упрощенной форме:

C(12, 3) = (12 * 11 * 10 * 9!) / (3 * 2 * 1 * 9!)

Заметьте, что 9! в числителе и знаменателе сокращаются:

C(12, 3) = (12 * 11 * 10) / (3 * 2 * 1)

Теперь выполним вычисления:

C(12, 3) = (12 * 11 * 10) / (3 * 2 * 1) = 220

Итак, коэффициент третьего члена в разложении (a + x)^12 по формуле бинома Ньютона равен 220.