Question

Найти наибольшее значение функции lnx-x на промежутке x>0

Answer 1

Производная
y'=1/x-1
Критические точки
1/x-1=0
1/x=1
x=1
y(1)=ln1-1=-1

Answer 2

Чтобы найти наибольшее значение функции $f(x) = \ln(x) - x$ на промежутке $x > 0$, нужно найти точку экстремума функции, где производная $f'(x)$ равна нулю. Затем проверим значение второй производной $f''(x)$ в этой точке, чтобы определить, является ли этот экстремум максимумом или минимумом.

1. Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx}(\ln(x) - x)$

   Для нахождения производной $d/dx(\ln(x))$ используем правило дифференцирования натурального логарифма: $\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x}$.

   Для нахождения производной $\frac{d}{dx}(-x) = -1$.

   Теперь объединим их: $f'(x) = \frac{1}{x} - 1$

2. Найдем точку, в которой производная $f'(x)$ равна нулю: $\frac{1}{x} - 1 = 0$

   Решим это уравнение: $\frac{1}{x} = 1$ $x = 1$

3. Теперь найдем вторую производную функции $f(x)$: $f''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x} - 1\right)$

   Для нахождения производной $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)$ используем правило дифференцирования $\frac{1}{x}$, которое равно $-\frac{1}{x^2}$.

   Теперь найдем производную $\frac{d}{dx}(-1) = 0$.

   Теперь объединим их: $f''(x) = -\frac{1}{x^2}$

4. Оценим значение второй производной $f''(x)$ в точке $x = 1$: $f''(1) = -\frac{1}{1^2} = -1$

Теперь мы видим, что вторая производная отрицательна в точке $x = 1$, что означает, что у нас есть локальный максимум функции $f(x)$ на промежутке $x > 0$ в точке $x = 1$.

Чтобы найти значение этого максимума, мы можем подставить $x = 1$ обратно в исходную функцию $f(x)$:

$f(1) = \ln(1) - 1 = 0 - 1 = -1$

Таким образом, наибольшее значение функции $f(x) = \ln(x) - x$ на промежутке $x > 0$ равно -1 и достигается в точке $x = 1$.