Question

Докажите что 3^100-2^100 делится на 3^10+2^10

Answer 1

3^100-2^100 делится на 3^10+2^10, т.к. 3^100-2^100 =

(3^10+2^10)(3^10+2^10), а т.к. произведение  в разложении содержит один из множителей, делящийся на 3^10+2^10, то и произведение делится на

3^10+2^10. Доказано.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, воспользуемся свойством разности квадратов:

1. Заметим, что число $3^{100} - 2^{100}$ можно представить в виде разности квадратов следующим образом:

$3^{100} - 2^{100} = (3^{50})^2 - (2^{50})^2.$

2. Теперь воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$.

Применяя её к нашему выражению, получаем:

$3^{100} - 2^{100} = (3^{50} + 2^{50})(3^{50} - 2^{50}).$

3. Далее, так как $3^{50} - 2^{50} = (3^{25})^2 - (2^{25})^2$, снова используем формулу разности квадратов:

$3^{100} - 2^{100} = (3^{50} + 2^{50}) \cdot (3^{25} + 2^{25}) \cdot (3^{25} - 2^{25}).$

4. Продолжим разложение: $3^{25} - 2^{25} = (3^{10})^2 - (2^{10})^2$.

Снова применим формулу разности квадратов:

$3^{100} - 2^{100} = (3^{50} + 2^{50}) \cdot (3^{25} + 2^{25}) \cdot (3^{25} - 2^{25}) = (3^{50} + 2^{50}) \cdot (3^{25} + 2^{25}) \cdot (3^{10} + 2^{10}) \cdot (3^{10} - 2^{10}).$

5. Видим, что в полученном выражении имеется множитель $3^{10} + 2^{10}$.

Таким образом, мы доказали, что $3^{100} - 2^{100}$ делится на $3^{10} + 2^{10}$.