Question

Как решать однородные системы уравнений?

Answer 1

Ответ напрашивается сам собой. Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого уравнения системы равен нулю. Например:


Совершенно ясно, что однородная система всегда совместна, то есть всегда имеет решение. И, прежде всего, в глаза бросается так называемое тривиальное решение . Тривиальное, для тех, кто совсем не понял смысл прилагательного, значит, беспонтовое. Не академично, конечно, но зато доходчиво =) …Чего ходить вокруг да около, давайте выясним, нет ли у данной системы каких-нибудь других решений:

Пример 1

Решить однородную систему линейных уравнений


Решение: чтобы решить однородную систему необходимо записать матрицу системы и с помощью элементарных преобразований привести её к ступенчатому виду. Обратите внимание, что здесь отпадает необходимость записывать вертикальную черту и нулевой столбец свободных членов – ведь что ни делай с нулями, они так и останутся нулями:


(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.

Делить третью строку на 3 не имеет особого смысла.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная однородная система , и, применяя обратный ход метода Гаусса, легко убедиться, что решение единственно.

Ответ:

Сформулируем очевидный критерий: однородная система линейных уравнений имеет только тривиальное решение, если ранг матрицы системы (в данном случае 3) равен количеству переменных (в данном случае – 3 шт.).

Разогреваемся и настраиваем свой радиоприёмник на волну элементарных преобразований:

Answer 2

Решение однородных систем уравнений – это процесс нахождения всех или некоторых их решений, когда правая часть всех уравнений равна нулю. Однородные системы уравнений имеют следующий вид:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0 ... am1x1 + am2x2 + ... + amn*xn = 0

Где aij - это коэффициенты, а xi - неизвестные переменные.

Существует несколько способов решения однородных систем уравнений:

1. Метод выделения общего множителя (метод Гаусса):

   • Преобразуйте систему уравнений в расширенную матрицу, добавив столбец справа, состоящий из нулей.

   • Примените метод Гаусса, чтобы привести матрицу к ступенчатому виду.

   • Используйте обратный ход метода Гаусса, чтобы найти свободные переменные (переменные, которые можно выбирать произвольно) и выразить их через свободные параметры.

   • Затем выразите все переменные через свободные параметры, что даст вам общее решение системы.

2. Матричный метод:

   • Запишите систему уравнений в матричной форме Ax = 0, где A - матрица коэффициентов, x - вектор неизвестных переменных.

   • Найдите нуль-вектор x=0 и решение нуль-вектора.

   • Найдите фундаментальное решение (собственные векторы) для матрицы A, используя методы линейной алгебры.

   • Общее решение системы будет суммой фундаментальных решений, умноженных на произвольные константы.

Это основные методы решения однородных систем уравнений. Выбор метода зависит от конкретных условий и предпочтений, и иногда один метод может быть более удобным, чем другой, в зависимости от характеристик системы.