Question

Помогите решить систему линейных алгебраических уравнений по формуле Гауса с объяснением 3x+2y-z=-3 2x-y+3z=21 x+y-z=-5

Answer 1

СМ ДОКУМЕНТ
==================================

Answer 2

Для решения данной системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, давайте преобразуем систему уравнений и найдем значения переменных x, y и z. Метод Гаусса основывается на преобразовании системы уравнений так, чтобы она приняла треугольную форму, а затем нахождении значений переменных.

Исходная система уравнений:

1. 3x + 2y - z = -3
2. 2x - y + 3z = 21
3. x + y - z = -5

Шаг 1: Преобразуем систему так, чтобы у первого уравнения был коэффициент 1 перед переменной x:

Умножим первое уравнение на 1/3:

1/3 * (3x + 2y - z) = 1/3 * (-3)

Теперь у нас есть:

1. x + (2/3)y - (1/3)z = -1

2. 2x - y + 3z = 21

3. x + y - z = -5

Шаг 2: Используем первое уравнение, чтобы избавиться от переменной x во втором и третьем уравнениях. Для этого вычтем из второго и третьего уравнений первое, умноженное на соответствующие коэффициенты:

2. (2x - y + 3z) - (2/3 * (x + (2/3)y - (1/3)z)) = 21 - (-1)
3. (x + y - z) - (1/3 * (x + (2/3)y - (1/3)z)) = -5 - (-1)

Это даст нам новые уравнения:

2x - y + 3z - (2/3)x - (4/9)y + (2/9)z = 24 x + y - z - (1/3)x - (2/9)y + (1/9)z = -4

Упростим уравнения:

1. (4/3)x + (5/9)y + (7/9)z = 24
2. (2/3)x + (7/9)y + (8/9)z = -4

Шаг 3: Теперь мы имеем систему двух уравнений с двумя переменными:

1. (4/3)x + (5/9)y + (7/9)z = 24
2. (2/3)x + (7/9)y + (8/9)z = -4

Решим эту систему методом Гаусса. Для этого умножим оба уравнения на 9, чтобы избавиться от дробей:

1. 12x + 5y + 7z = 216
2. 6x + 7y + 8z = -36

Теперь можно применить метод Гаусса, чтобы решить эту систему. Сначала выразим x из первого уравнения:

12x + 5y + 7z = 216 12x = 216 - 5y - 7z x = (216 - 5y - 7z)/12

Теперь подставим это значение x во второе уравнение:

6x + 7y + 8z = -36 6((216 - 5y - 7z)/12) + 7y + 8z = -36

Упростим уравнение, умножив обе стороны на 12:

6(216 - 5y - 7z) + 84y + 96z = -432

Раскроем скобки:

1296 - 30y - 42z + 84y + 96z = -432

Теперь сгруппируем переменные y и z:

54y + 54z = -432 - 1296 54(y + z) = -1728

Разделим обе стороны на 54:

y + z = -32

Теперь у нас есть значение y + z. Мы можем вернуться к одному из первых двух уравнений, например, к уравнению 1, и выразить z:

(4/3)x + (5/9)y + (7/9)z = 24

Подставим значение y + z:

(4/3)x + (5/9)(-32) + (7/9)z = 24

Упростим:

(4/3)x - (160/9) + (7/9)z = 24

Теперь выразим z:

(7/9)z = 24 + (160/9) - (4/3)x

Умножим обе стороны на 9/7, чтобы избавиться от дроби:

z = (9/7)(24 + (160/9) - (4/3)x)

z = (216/7) + (160/63) - (36/7)x

z = (216/7) + (80/63) - (36/7)x

z = (216/7) + (80/63) - (504/63)x

z = (296/63) - (504/63)x

z = (296 - 504x)/63

Теперь у нас есть значения y и z. Мы можем вернуться к одному из первых двух уравнений, например, к уравнению 1, и выразить x:

x + (2/3)y - (1/3)z = -1

Подставим значения y и z:

x + (2/3)(-32) - (1/3)((296 - 504x)/63) = -1

Упростим:

x - 64 + (296 - 504x)/189 = -1

Умножим обе стороны на 189, чтобы избавиться от дробей:

189x - 12096 + 296 - 504x = -189

Теперь объединим переменные x:

-315x - 11700 = -189

Добавим 11700 к обеим сторонам:

-315x = -189 + 11700

-315x = 11511

Теперь разделим обе стороны на -315, чтобы найти значение x:

x = 11511 / -315

x = -37

Теперь у нас есть значения x, y и z:

x = -37 y + z = -32 z = (296 - 504x)/63

Подставим значение x в уравнение для z:

z = (296 - 504(-37))/63

z = (296 + 18768)/63

z = 19064/63

Итак, решение системы уравнений:

x = -37 y = -32 - z z = 19064/63

Вы можете выразить значение y, подставив найденные значения x и z в уравнение y + z = -32.