Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=3x+2x^2+1/3x^3 на промежутке [-2,0]

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y = 3x + 2x^2 + (1/3)x^3 на заданном интервале [-2, 0], нам необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдем критические точки, где производная функции равна нулю или не существует.
2. Оценим значения функции на граничных точках интервала.
3. Сравним значения функции в найденных точках, чтобы определить наибольшее и наименьшее значение.

Шаг 1: Найдем производную функции y по x и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

y = 3x + 2x^2 + (1/3)x^3 y' = 3 + 4x + x^2

Теперь приравняем y' к нулю и решим уравнение:

3 + 4x + x^2 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение с использованием квадратного корня или факторизации. В данном случае, факторизация будет проще:

(x + 3)(x + 1) = 0

Это уравнение имеет два корня: x = -3 и x = -1.

Шаг 2: Оценим значения функции на граничных точках интервала [-2, 0]:

y(-2) = 3*(-2) + 2*(-2)^2 + (1/3)(-2)^3 = -6 + 8 - 16/3 = -22/3 y(0) = 30 + 2*0^2 + (1/3)*0^3 = 0

Шаг 3: Теперь сравним значения функции в критических точках и граничных точках:

y(-3) = 3*(-3) + 2*(-3)^2 + (1/3)(-3)^3 = -9 + 18 - 27 = -18 y(-1) = 3(-1) + 2*(-1)^2 + (1/3)*(-1)^3 = -3 + 2 - 1/3 = -8/3

Итак, наибольшее значение функции на интервале [-2, 0] равно -8/3 и достигается в точке x = -1, а наименьшее значение равно -22/3 и достигается в точке x = -2.

Таким образом, наибольшее значение функции на интервале [-2, 0] равно -8/3, а наименьшее значение равно -22/3.