Question

Корень(x+2корень(x-1)) + корень (x-2корень(x-1)) = 2

Answer 1

$\sqrt{x + 2 \sqrt{x - 1} } + \sqrt{x - 2 \sqrt{x - 1} } = 2$

Так как О.Д.З. здесь трудно найти, но можно, решим уравнение равносильным переходом: х - 1 ≥ 0 ; х ≥ 1

√( х + 2√( х - 1 ) ) = √( х - 1 + 2√( х - 1 ) + 1 ) = √ ( (√( х - 1 ) )² + 2√( х - 1 ) + 1 ) = √( ( √( х - 1 ) + 1 )² ) = | √( х - 1 ) + 1 | = √( х - 1 ) + 1


√( х - 1 ) + 1 + | √( х - 1 ) - 1 | = 2

| √( х - 1 ) - 1 | = 1 - √( х - 1 )
__________________
По определению модуля:

| х | = х , если х ≥ 0
| х | = - х , если х ≤ 0
_________________

√( х - 1 ) - 1 ≤ 0

√( х - 1 ) ≤ 1

х - 1 ≤ 1

х ≤ 2

С учетом, что х ≤ 1

х € [ 1 ; 2 ]

Использовали формулу:

( а ± b )² = a² ± 2ab + b² - квадрат разности / суммы

√ а² = | а |

ОТВЕТ: [ 1 ; 2 ]

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

У нас есть уравнение:

√(x + 2√(x - 1)) + √(x - 2√(x - 1)) = 2

Для начала давайте введем замену, чтобы упростить уравнение. Пусть y = √(x - 1). Тогда уравнение примет вид:

√(y^2 + 2y) + √(y^2 - 2y) = 2

Теперь мы можем рассмотреть это как уравнение в переменной y:

√(y^2 + 2y) + √(y^2 - 2y) = 2

Теперь давайте избавимся от корней, возводя обе стороны уравнения в квадрат:

(y^2 + 2y) + 2√((y^2 + 2y)(y^2 - 2y)) + (y^2 - 2y) = 4

Теперь у нас есть:

2(y^2 + 2y)(y^2 - 2y) = 4 - 2(y^2 + 2y) - 2(y^2 - 2y)

Упростим это уравнение:

2(y^4 - 4y^2) = 4 - 2(y^2 + 2y) - 2(y^2 - 2y)

2y^4 - 8y^2 = 4 - 2(y^2 + 2y) - 2(y^2 - 2y)

2y^4 - 8y^2 = 4 - 2y^2 - 4y - 2y^2 + 4y

2y^4 - 8y^2 = -4y^2 - 4y + 4

Теперь приравняем это уравнение к нулю:

2y^4 - 8y^2 + 4y^2 + 4y - 4 = 0

2y^4 - 4y^2 + 4y - 4 = 0

Теперь у нас есть уравнение вида 2y^4 - 4y^2 + 4y - 4 = 0. Это квадратное уравнение относительно y^2. Мы можем решить его, используя квадратное уравнение:

y^2 = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 2, b = 4 и c = -4. Подставим значения:

y^2 = (-4 ± √(4^2 - 42(-4))) / (2*2)

y^2 = (-4 ± √(16 + 32)) / 4

y^2 = (-4 ± √48) / 4

y^2 = (-4 ± 4√3) / 4

Теперь разделим обе стороны на 4:

y^2 = (-1 ± √3)

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы найти значения y:

y = ±√(-1 ± √3)

Теперь мы можем вернуться к исходной переменной x:

x - 1 = (-1 ± √3)^2

x - 1 = 1 ± 2√3 + 3

x = 5 ± 2√3

Итак, у нас есть два решения для x:

1. x = 5 + 2√3
2. x = 5 - 2√3

Пожалуйста, проверьте эти значения в исходном уравнении, чтобы убедиться, что они удовлетворяют его.