Question

Дана вершина А(-2;3) треугольника и уравнения медиан L1: x+5=0 L2: 4x+3y-9=0. Найти координаты двух других вершин

Answer 1

Находим координаты точки О пересечения медиан.

Из уравнения x+5=0  находим х = -5 подставим в уравнение второй медианы:  4*(-5)+3y-9=0.  3у = 9 + 20,  у = 29/3.

Получили О(-5; (29/3)).

Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины. На этом основании можно определить координаты точки Д как основания медианы на стороне ВС из пропорции подобных треугольников.

хД = хО + (1/2)*Δх(О - А) = -5 + (1/2)*(-5 - (-2)) = -5 - (3/2) = -6,5.

уД = уО  + (1/2)*Δу(О - А) = (29/3) + (1/2)*((29/3) - 3) = (29/3) + (10/3) = 39/3 = 13.

Так как точка В лежит на медиане L1, то её координата по оси Ох равна -5. Точка С симметрична точке В относительно точки Д.

хС = 2хД - хВ = -13 - (-5) = -8.

По уравнению медианы находим координату точки С по оси Оу, подставив в неё х = -8, предварительно выразив уравнение относительно у.

уС = (-4/3)*(-8) + 3 = (32/3) + 3 = 41/3 = 13(2/3).

Находим координату точки В по оси Оу как симметричной точке С относительно точки Д.

уВ = 2уД - уС = 2*13 - (41/3) = 37/3 = 12(1/3).

Ответ: В(-5; (37/3)) и С(-8; (41/3)).

 

Answer 2

Чтобы найти координаты двух других вершин треугольника, для начала найдем точку пересечения медиан L1 и L2. Эта точка будет центром масс треугольника и одной из вершин.

Уравнение L1: x + 5 = 0 можно переписать в виде x = -5.

Уравнение L2: 4x + 3y - 9 = 0 можно переписать в виде 4x + 3y = 9.

Теперь найдем точку пересечения этих двух прямых, решив систему уравнений:

Система уравнений:

1. x = -5
2. 4x + 3y = 9

Подставим значение x из первого уравнения во второе:

4*(-5) + 3y = 9

-20 + 3y = 9

3y = 9 + 20 3y = 29

y = 29 / 3

Теперь у нас есть координаты точки пересечения медиан, которая является центром масс треугольника: (-5, 29/3).

Чтобы найти координаты двух других вершин треугольника, можно воспользоваться свойством медианы, которое гласит, что медиана делит отрезок, соединяющий вершину треугольника и центр масс, пополам.

Исходная вершина A(-2, 3) и центр масс C(-5, 29/3). Найдем координаты второй вершины B:

x_B = 2 * x_C - x_A x_B = 2 * (-5) - (-2) x_B = -10 + 2 x_B = -8

y_B = 2 * y_C - y_A y_B = 2 * (29/3) - 3 y_B = (58/3) - (9/3) y_B = (49/3)

Таким образом, координаты второй вершины B(-8, 49/3). Теперь найдем координаты третьей вершины, используя тот же принцип:

x_C = 2 * x_B - x_A x_C = 2 * (-8) - (-2) x_C = -16 + 2 x_C = -14

y_C = 2 * y_B - y_A y_C = 2 * (49/3) - 3 y_C = (98/3) - (9/3) y_C = (89/3)

Таким образом, координаты третьей вершины C(-14, 89/3).

Итак, координаты двух других вершин треугольника: B(-8, 49/3) и C(-14, 89/3).