Question

Известны координаты двух противоположных вершин квадрата ABCD (вершины перечислены против часовой стрелки): D(5; −5) и B(−5; 5). Определи координаты двух других вершин. Сколько решений имеет задача? Ответ: координаты вершины A(; ). Координаты вершины C (; ). Задача имеет .

Answer 1

Ответ:

Задача имеет 2 решения

A(5;5) C(-5;-5) или A(-5;-5) C(5;5)

Объяснение:

Введу обозначение-(MN) это вектор MN

Точки B(−5; 5) и D(5; −5) центрально симметричны относительно начала координат О(0; 0), что совпадёт с центром симметрии квадрата. Значит и точки А и С симметричны относительно относительно точки О.

Пусть координаты точки А(x; y), тогда координаты точки С(-x; -y)

AC²=(-x-x)²+(-y-y)²==4x²+4y²

BD²=(-5-5)²+(-5-5)²=200

AC²=BD²

4x²+4y²=200

x²+y²=50

(CA)⊥(BD)⇒(AC)·(BD)=0

(CA)={2x;2y}; (BD)={10;-10}

0=(AC)·(BD)=10·2x+(-10)·2y=20x-20y⇒x-y=0⇒y=x

x²+x²=50

2x²=50

x²=25

x=±5⇒y=x=±5

A(5;5) C(-5;-5) или A(-5;-5) C(5;5)

Answer 2

Чтобы найти координаты остальных двух вершин квадрата, можно воспользоваться свойствами геометрии. Квадрат - это четырехугольник, у которого все стороны равны, и углы прямые.

Известно, что противоположные вершины D и B находятся на диагонали квадрата. Следовательно, вершины A и C также находятся на этой диагонали.

Для нахождения координат вершин A и C, можно взять среднюю точку диагонали DB, которая будет центром квадрата, и затем использовать симметрию относительно центра, чтобы найти остальные вершины.

Средняя точка диагонали DB: x = (x_D + x_B) / 2 = (5 + (-5)) / 2 = 0 y = (y_D + y_B) / 2 = (-5 + 5) / 2 = 0

Следовательно, центр квадрата находится в точке (0, 0).

Теперь, используя симметрию относительно центра, координаты вершин A и C будут равны по абсолютным значениям координатам вершин D и B, но с противоположными знаками:

Вершина A: (x_A, y_A) = (-x_D, -y_D) = (-5, 5) Вершина C: (x_C, y_C) = (-x_B, -y_B) = (5, -5)

Таким образом, координаты вершины A равны (-5, 5), а координаты вершины C равны (5, -5).

Задача имеет единственное решение, так как по заданным координатам вершин D и B можно однозначно определить координаты остальных вершин, учитывая свойства квадрата.