Question

количество членов геометрической прогрессии четно сумма всех ее членов в 2 раза меньше суммы членов стоящих на четных местах найдите знаменатель q такой прогрессии

Answer 1

Обозначим сумму членов стоящих на четных местах S₀,

эта сумма тоже представляет из себя геометрическую прогрессию  со знаменателем q₀=q²

$S_{2n}=b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}...+b_{2n}\\\\S_{2n}=\frac{b_{1}\cdot(q^{2n}-1)}{q-1} \\ \\ S_{o}=b_{2}+b_{4}...+b_{2n}\\ \\q_{o}=\frac{b_{4}}{b_{2}}=q^2\\ \\S_{o}=\frac{b_{2}\cdot((q^{2})^{n}-1)}{q^2-1}\\ \\S_{o}=2S_{2n}\\ \\ \\\frac{b_{2}\cdot((q^{2})^{n}-1)}{q^2-1}=2\cdot \frac{b_{1}\cdot(q^{2n}-1)}{q-1}\\ \\\frac{q}{q+1}=2\\ \\q=2q+2\\ \\q=-2$

О т в е т. -2

Answer 2

Давайте обозначим знаменатель геометрической прогрессии как "q", а первый член прогрессии как "a". Также пусть количество членов прогрессии равно "n".

Зная, что сумма всех членов геометрической прогрессии равна:

S = a + aq + aq^2 + ... + aq^(n-1)

И сумма членов на четных местах:

S_четные = aq + aq^3 + ... + aq^(n-1)

Мы знаем, что количество членов прогрессии "n" четно, поэтому "n" можно представить в виде "n = 2k", где "k" - натуральное число.

Сумма членов на четных местах:

S_четные = aq(1 + q^2 + q^4 + ... + q^(2k-2))

Теперь важно заметить, что в скобках у нас стоит сумма геометрической прогрессии с первым членом "1" и знаменателем "q^2", и количество членов этой прогрессии равно "k" (половина от общего количества членов "n"). Мы можем выразить эту сумму:

S_четные = aq * [1 + q^2 + q^4 + ... + q^(2k-2)] S_четные = aq * [(1 - q^(2k)) / (1 - q^2)]

Теперь у нас есть выражение для суммы членов на четных местах. Из условия задачи известно, что сумма всех членов прогрессии S в 2 раза меньше суммы членов на четных местах S_четные:

S = 1/2 * S_четные

Подставим в это уравнение наше выражение для S и S_четные:

a + aq + aq^2 + ... + aq^(n-1) = 1/2 * aq * [(1 - q^(2k)) / (1 - q^2)]

Теперь можно сократить "a" и упростить уравнение:

1 + q + q^2 + ... + q^(n-1) = 1/2 * q * [(1 - q^(2k)) / (1 - q^2)]

Далее, заметим, что 1 + q + q^2 + ... + q^(n-1) представляет собой сумму первых "n" членов геометрической прогрессии, для которой у нас есть следующая формула:

S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q)

Подставим это выражение:

a * (1 - q^n) / (1 - q) = 1/2 * q * [(1 - q^(2k)) / (1 - q^2)]

Сократим "a" и умножим обе стороны на (1 - q):

1 - q^n = 1/2 * q * (1 - q^(2k)) / (1 - q^2)

Теперь, чтобы найти значение "q", нам нужно решить это уравнение. Однако для более точного решения требуется знание значения "n" (количество членов прогрессии) и "k" (половина от "n"). Без этих данных невозможно точно выразить "q". Уточните, если у вас есть дополнительные данные.