Question

Решить дифференциальное уравнение: *tan(y)dx-\frac{e^{2x} }{x-1} dy=0[/tex]

Answer 1

$e^{x^2+1}*tgydx=\dfrac{e^{2x} }{x-1}dy\\ 2\int e^{(x-1)^2}(x-1)dx=2\int ctgydy\\ \int e^{(x-1)^2}d((x-1)^2)=2\int \dfrac{1}{siny}d(siny)\\ e^{(x-1)^2}=2ln(siny)+C$

Answer 2

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение, давайте начнем с его видоизменения и разделения переменных. Исходное уравнение имеет вид:

tan(y)dx - (e^(2x)/(x-1))dy = 0

Для начала, переместим все члены с y на одну сторону и все члены с x на другую сторону:

tan(y)dx = (e^(2x)/(1-x))dy

Теперь разделим обе стороны на функции y и x:

(tan(y))/dy = (e^(2x))/(1-x)dx

Теперь интегрируем обе стороны:

∫(tan(y))/dy = ∫(e^(2x))/(1-x)dx

Для левой стороны мы можем использовать интеграл, который имеет вид:

∫(tan(y))/dy = -ln|cos(y)| + C₁, где C₁ - константа интегрирования.

Для правой стороны, интеграл сложнее. Мы можем использовать метод интегрирования по частям:

∫(e^(2x))/(1-x)dx

Для этого применим интегрирование по частям, где u = e^(2x) и dv = dx, тогда du = 2e^(2x)dx и v = x - 1. Применим формулу интегрирования по частям:

∫u dv = uv - ∫v du

= (x - 1)e^(2x) - ∫(x - 1) * 2e^(2x)dx

= (x - 1)e^(2x) - 2∫(x - 1)e^(2x)dx

Теперь интегрируем правую сторону по частям снова:

2∫(x - 1)e^(2x)dx

Для этого используем интегрирование по частям снова, где u = x - 1 и dv = 2e^(2x)dx:

∫(x - 1)e^(2x)dx = (x - 1)(e^(2x)/2) - ∫(e^(2x)/2)dx

= (x - 1)(e^(2x)/2) - (1/2)∫e^(2x)dx

Теперь выразим ∫e^(2x)dx:

∫e^(2x)dx = (1/2)∫e^(2x)d(2x)

= (1/2)e^(2x) + C₂, где C₂ - константа интегрирования.

Теперь вернемся к правой стороне и подставим выражение для ∫(x - 1)e^(2x)dx:

2∫(x - 1)e^(2x)dx = 2((x - 1)(e^(2x)/2) - (1/2)e^(2x) + C₂)

= (x - 1)e^(2x) - e^(2x) + 2C₂

Таким образом, правая сторона уравнения становится:

(x - 1)e^(2x) - e^(2x) + 2C₂

Теперь мы можем записать полное уравнение в следующем виде:

-ln|cos(y)| + C₁ = (x - 1)e^(2x) - e^(2x) + 2C₂

Теперь объединим константы интегрирования C₁ и C₂ в одну константу C:

-ln|cos(y)| + C = (x - 1)e^(2x) - e^(2x)

Для окончательной формы уравнения решим логарифмический член:

-ln|cos(y)| = (x - 1)e^(2x) - e^(2x) - C

Теперь мы имеем окончательное решение дифференциального уравнения:

-ln|cos(y)| = (x - 1)e^(2x) - e^(2x) - C