Question

До графіка функції y=x^3/3 провести дотичну так, щоб вона була паралельна прямій y=25x−8. Рівняння дотичних:​

Answer 1

Ответ:yk₁,₂=25x±83¹/₃.

Объяснение:

y=x³/3        y=25x-8

y=25x-8    (y=kx-b)

k=25     ⇒

f'(x₀)=25

Кутовий коефіцієнт дотичної:  f'(x₀)=(x³/3)'=x²

x²=25

x₀₁=5         x₀₂=-5.

yk=f(x₀)+f'(x₀)*(x-x₀)

yk₁=(5³/3)+25*(x-5)=(125/3)+25x-125=25x-(250/3)=25x-83¹/₃.

yk₂=((-5)³/2)+25*(x-(-5))=(-125/3)+25x+125=25x+250/3=25x+83¹/₃.

Answer 2

Для того, щоб провести дотичну до графіка функції $y = \frac{x^3}{3}$, яка буде паралельна прямій $y = 25x - 8$, спершу знайдемо похідну функції $y = \frac{x^3}{3}$, оскільки похідна покаже нам нахил кривої в кожній точці.

$y = \frac{x^3}{3}$

Знайдемо похідну:

$\frac{dy}{dx} = x^2$

Тепер, щоб дотична була паралельна прямій $y = 25x - 8$, її нахил (похідна) повинен бути такий самий, тобто $x^2$. Отже, ми шукаємо рівняння дотичної у вигляді:

$y = ax^2 + b$,

де $a$ - це нахил дотичної, а $b$ - зміщення по вертикалі.

Ми знаємо, що нахил дотичної $a$ дорівнює $x^2$, тобто $a = x^2$.

Тепер, щоб знайти значення $b$, ми можемо використовувати будь-яку точку на графіку функції $y = \frac{x^3}{3}$. Наприклад, давайте візьмемо точку $(x_0, y_0)$, де $x_0$ - це будь-яка точка на графіку. Для спрощення розглянемо точку $(0, 0)$:

$y_0 = \frac{x_0^3}{3} = \frac{0}{3} = 0$

Тепер ми можемо знайти $b$:

$b = y_0 = 0$

Отже, рівняння дотичної буде виглядати наступним чином:

$y = x^2 + 0$

Але через те, що $b = 0$, ми можемо спростити рівняння:

$y = x^2$

Це є рівняння дотичної до графіка функції $y = \frac{x^3}{3}$, яка паралельна прямій $y = 25x - 8$.