Question

Срочно! Помогите плиз! Докажите, что значение выражения (a+b)^2-2(a+b-1) при любых а и b неотрицательное

Answer 1

2а+2b-2a-2b+1 больше или равно 0
все подобные сокращаются и остается 
1 больше или равно 0
ч.т.д.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим выражение (a+b)^2 - 2(a+b-1) и покажем, что оно всегда неотрицательное для любых значений a и b.

Раскроем скобки в выражении (a+b)^2:

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Теперь вставим это в исходное выражение:

(a+b)^2 - 2(a+b-1) = a^2 + 2ab + b^2 - 2(a+b-1).

Раскроем скобки:

= a^2 + 2ab + b^2 - 2a - 2b + 2.

Объединим подобные слагаемые:

= (a^2 - 2a) + (2ab - 2b) + (b^2 + 2).

Факторизуем первые два слагаемых:

= a(a - 2) + 2b(a - 1) + (b^2 + 2).

Теперь добавим и вычтем (a - 1)^2 во втором слагаемом:

= a(a - 2) + 2b(a - 1) + (b^2 + 2) - (a - 1)^2 + (a - 1)^2.

Раскроем скобки во втором слагаемом:

= a(a - 2) + 2ba - 2b + b^2 + 2 - (a^2 - 2a + 1) + (a - 1)^2.

Раскроем скобки:

= a^2 - 2a + 2ba - 2b + b^2 + 2 - a^2 + 2a - 1 + (a - 1)^2.

Сократим подобные слагаемые:

= b^2 + 2 - 1 + (a - 1)^2 + 2ba - 2b.

= b^2 + 1 + (a - 1)^2 + 2b(a - 1).

Теперь выделим полные квадраты в первых и третьих слагаемых:

= b^2 + 1 + (a^2 - 2a + 1) + 2b(a - 1).

= a^2 + b^2 + 2b(a - 1) - 2a + 2.

= a^2 - 2a + b^2 + 2b(a - 1) + 2.

= (a - 1)^2 + b^2 + 2b(a - 1) + 2.

Мы видим, что каждое слагаемое в этом выражении неотрицательное. Точнее, (a - 1)^2 является квадратом разности и всегда неотрицательно, а b^2 и 2b(a - 1) являются квадратами и всегда неотрицательны. Также 2 - это положительное число.

Следовательно, значение вы