Question

имеется 7 яблок и 3 груши Сколькими способами можно разложить 2 тарелочки по 5 фруктов так чтобы на каждой из них хотя бы было бы хотя бы одна груша. пж формулой​

Answer 1

Ответ: 105 способов.

Объяснение:

На первую тарелку нужно положить 1 грушу и 4 яблока.

Одну грушу из трёх можно положить С¹₃ способами.

Четыре яблока из семи можно положить С⁴₇ способами.

Нужно, чтобы на тарелке была И 1 груша, И 4 яблока, поэтому сочетания между собой перемножаем:

$n=\big{C}^1_3\cdot\big{C}^4_7=3\cdot\frac{7!}{4!(7-4)!}= 3\cdot\frac{7!}{4!3!}= \frac{3\cdot5\cdot6\cdot7}{1\cdot2\cdot3}= 15\cdot7=105$

Для проверки также можно взять и другой вариант тарелки: 2 груши и 3 яблока. Ответ получится точно такой же.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться принципом включения-исключения. Давайте найдем сначала общее количество способов разложить 2 тарелочки по 5 фруктов из 7 яблок и 3 груш. Затем мы вычтем из этого общего числа способов те случаи, когда на одной из тарелочек нет ни одной груши.

Общее количество способов разложить 2 тарелочки по 5 фруктов из 7 яблок и 3 груш можно найти с помощью сочетаний. Мы должны выбрать 5 фруктов из 10 (7 яблок и 3 груш):

C(10, 5) = 10! / (5!(10 - 5)!) = 252 способа.

Теперь давайте рассмотрим случаи, когда на одной из тарелочек нет ни одной груши. Это можно сделать следующими способами:

1. На первой тарелочке нет груш, на второй - все 3 груши.
2. На первой тарелочке 1 груша, на второй - 2 груши.
3. На первой тарелочке 2 груши, на второй - 1 груша.

Давайте посчитаем количество способов для каждого из этих случаев.

1. На первой тарелочке нет груш, на второй - все 3 груши. Это означает, что на первой тарелочке должны быть 5 яблок, а на второй - 2 яблока и 3 груши. Количество способов разместить 5 яблок на первой тарелочке равно C(7, 5) = 21, а на второй тарелочке осталось только один вариант (2 груши и 3 яблока). Итак, этот случай дает 21 способ.

2. На первой тарелочке 1 груша, на второй - 2 груши. Мы можем выбрать 1 грушу из 3 для первой тарелочки и 2 груши из 2 для второй тарелочки. Для яблок также есть сочетание: на первой тарелочке 4 яблока, на второй - 3 яблока. Количество способов для этого случая равно C(3, 1) * C(2, 2) * C(7, 4) = 3 * 1 * 35 = 105 способов.

3. На первой тарелочке 2 груши, на второй - 1 груша. Этот случай аналогичен предыдущему, но меняются местами тарелочки. Так что количество способов равно 105.

Теперь мы можем применить принцип включения-исключения:

Общее количество способов - количество способов с случаем 1 - количество способов с случаем 2 - количество способов с случаем 3:

252 - 21 - 105 - 105 = 21 способ разложить 2 тарелочки по 5 фруктов так, чтобы на каждой из них хотя бы было хотя бы одна груша.