Question

1-Староста подал в деканат следующие сведения: «В группе учатся 19 студентов, в том числе 13 девушек. Получают стипендию 11 студентов, в том числе 7 девушек. В общежитии живут 15 студентов, среди которых 9 девушек и 8 студентов, получающих стипендию. Среди девушек, получающих стипендию, 5 живет в общежитии». Проанализировав данные, в деканате обнаружили, что сведения противоречивы. Покажите, что это действительно так. 2-В разложении (x+y)^5 найти коэффициент при x^2 y^3 3а. Аудитория освещается тремя рядами ламп, по 6 одинаковых ламп в ряду. В каждом ряду перегорело ровно по одной лампе. Сколько вариантов освещения при этом могло возникнуть? 3б. У Маши и Андрея родились трое мальчиков-близняшек. После долгих обсуждений родители составили список из 11 понравившихся им мужских имен. Сколькими способами они смогут отобрать из них три имени для своих мальчиков? 3в. В цветочном магазине продаются тюльпаны пяти цветов. Сколько видов букетов из 11 тюльпанов может составить продавец этого магазина? 3г Студенческое научное сообщество состоит из 20 членов. Надо выбрать президента общества, вице-президента, казначея и секретаря Сколькими способами может быть сделан этот выбор, если каждый член общества может занимать только один пост? 4. Сколькими способами трое ребят могут разделить между собой 7 конфет «Мишка на севере», 5 конфет «Маска», 11 конфет «Красная шапочка» (никаких ограничений на способ раздела нет)? 5. Сколькими способами можно расположить в ряд семь одинаковых синих и десять различных красных шаров так, чтобы никакие два синих шара не лежали рядом? 6. В лифт вошли 9 человек. Сколькими способами они могут распределиться на 4 этажах так, чтобы на каждом этаже вышел хотя бы один человек?

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) Проанализируем каждое предложение.

В группе учатся 19 студентов, в том числе 13 девушек.

Значит, остальные 6 студентов в группе - парни.

Получают стипендию 11 студентов, в том числе 7 девушек.

Значит, 4 парня получают стипендию.

Остальные 6 девушек и 2 парня стипендию не получают.

В общежитии живут 15 студентов, среди которых 9 девушек и 8 студентов, получающих стипендию.

Из 15 студентов - 9 девушек и 6 парней. Значит, все парни из группы живут в общежитии.

Из 15 студентов - 8 получают стипендию и 7 не получают.

Так как все парни живут в общежитии, то 4 получают стипендию и 2 не получают.

Из 8 человек, живущих в общежитии и получающих стипендию -

4 парня и 4 девушки.

Среди девушек, получающих стипендию, 5 живет в общежитии.

Это предложение противоречит предыдущему выводу.

Должно быть 4 девушки, живущих в общежитии и получающих стипендию

2) (x + y)^5 = x^5 + C(1,5)*x^4*y + C(2,5)*x^3*y^2 + C(3,5)*x^2*y^3 + C(4,5)*xy^4 + y^5

C(3,5) = (5*4*3)/(1*2*3) = 5*4/2 = 10

Ответ: 10x^2*y^3

3а) В 1 ряду перегорела 1 лампа из 6 - это 6 вариантов.

Во 2 ряду тоже перегорела 1 лампа из 6 - это тоже 6 вариантов.

И в 3 ряду перегорела 1 лампа из 6 - это тоже 6 вариантов.

Всего 6*6*6 = 216 вариантов.

3б) Это сочетания из 11 элементов по 3.

Сочетания, потому что близнецы одинаковые, и не имеет значения, кому какое имя достанется.

C(3,11) = (11*10*9)/(1*2*3) = (11*5*2*3*3)/(2*3) = 11*5*3 = 165 вариантов.

3в) Каждый цветок из 11 можно взять пятью разными способами.

Всего получается 5^11 = 48 828 125 вариантов букетов.

3г) Это размещения, потому что имеет значение порядок должностей.

Вариант (Иванов Президент, Петров Вице, Сидоров казначей, Романов секретарь) и вариант (Петров Президент, Сидоров Вице, Романов казначей, Иванов секретарь) - это разные варианты, хотя и из одних и тех же 4 студентов.

A(4,20) = 20*19*18*17 = 116 280 вариантов.

4) Это очень много вариантов, я даже не знаю, как это посчитать.

1 - Первый парень забирает всё себе.

2 - Первый забирает всё себе, а 1 конфету отдает второму.

И это 3 варианта, потому что 3 разных конфеты.

3 - Первый забирает всё себе, а 1 конфету отдает третьему.

И это опять 3 варианта, потому что 3 разных конфеты.

...

k - Второй парень забирает всё себе. - вариант где-то посередине.

...

n - Третий парень забирает всё себе. - последний вариант.

5) Это опять большая и сложная задача.

6) Это снова размещения, как в 3г)

A(4,9) = 9*8*7*6 = 3024 варианта.

Answer 2

1. Покажем, что сведения противоречивы. Используя метод инклюзии-эксклюзии, посчитаем количество студентов, которые получают стипендию и живут в общежитии:

• Студентов, получающих стипендию: 11.
• Студентов, живущих в общежитии: 15.

Теперь посчитаем количество девушек, получающих стипендию и живущих в общежитии:

• Девушек, получающих стипендию: 7.
• Девушек, живущих в общежитии: 9.

Теперь учтем пересечение: девушек, получающих стипендию и живущих в общежитии. По условию, это должно быть 5 девушек.

Теперь применим принцип инклюзии-эксклюзии:

Количество девушек, получающих стипендию или живущих в общежитии = (Девушки, получающие стипендию) + (Девушки, живущие в общежитии) - (Девушки, получающие стипендию и живущие в общежитии) = 7 + 9 - 5 = 11.

Теперь сравним это с общим количеством девушек в группе, которых по данным должно быть 13. Очевидно, что данные противоречивы, так как по сведениям старосты только 11 девушек удовлетворяют критериям (получают стипендию или живут в общежитии), но фактически в группе должно быть 13 девушек.

2. В разложении (x+y)^5 коэффициент при x^2 y^3 равен:

C(5, 2) * (x^2) * (y^3) = 10x^2 y^3.

3а. В каждом ряду перегорело по одной лампе, поэтому у нас есть два варианта для каждого ряда: либо перегорела лампа слева, либо справа. Так как у нас три ряда, общее количество вариантов будет 2^3 = 8.

3б. Для выбора трех имён из 11 доступных у них есть 11C3 способов, что равно C(11, 3) = 165 способам.

3в. Чтобы найти количество видов букетов из 11 тюльпанов, мы можем воспользоваться биномиальным коэффициентом. Общее количество видов букетов будет равно C(11, k), где k принимает значения от 0 до 11. Суммируя все возможные варианты, мы получим:

C(11, 0) + C(11, 1) + C(11, 2) + ... + C(11, 11) = 2^11 = 2048 видов букетов.

3г. Для выбора президента есть 20 вариантов, для выбора вице-президента (оставшегося члена с разным постом) 19 вариантов, для казначея 18 вариантов, и для секретаря 17 вариантов. Общее количество способов будет равно произведению этих чисел:

20 * 19 * 18 * 17 = 116,280 способов.

4. Для разделения конфет между троими ребятами без ограничений на способ раздела, мы можем использовать "Шары и перегородки" (или "мячи и ящики") метод. Всего у нас есть 7 + 5 + 11 = 23 конфеты, и 2 перегородки, чтобы разделить их между тремя ребятами.

Количество способов разделить конфеты будет равно:

C(23, 2) = 253 способа.

5. Для того чтобы никакие два синих шара не лежали рядом, мы можем использовать принцип инклюзии-эксклюзии. Сначала разместим 10 красных шаров между 7 парами синих шаров, а затем вставим оставшиеся 3 синих шара между ними. Имеем:

C(7, 3) способов разместить 3 синих шара между 7 парами.

Теперь каждая пара синих шаров разделяется на две части, где одна часть содержит 2 синих шара, а другая содержит 0. Используем биномиальный коэффициент:

C(7, 3) * C(2, 0) = 35 способов.

6. Для распределения 9 человек на 4 этажа так, чтобы на каждом этаже был хотя бы один человек, мы можем использовать "Шары и перегородки" метод. Разместим 9 шаров (человек) и 3 перегородки (для разделения этажей). Имеем:

C(9 + 3, 3) = C(12, 3) = 220 способов распределения.

Здесь мы используем сочетание с повторением, чтобы разместить 9 шаров между 3 перегородками.