Question

Додатнi числа x, y, z такi, що x+y=(y+z)^2, x+z=(y+x)^2, z+y=(x+z)^2 Знайдiть цi числа.

Answer 1

Ответ:

x1=y1=z1=0

x2=y2=z2=1/2          

Объяснение:

x+y=(y+z)^2,

x+z=(y+x)^2

z+y=(x+z)^2

Пусть для удобства :

x+y=a >=0

x+z=b>=0

z+y=c>=0

Тогда система принимает более удобный вид :

a=c^2

b=a^2

c=b^2

Из  положительности всех неизвестных следует  эквивалентное равенство :

a=c^2 =b^4 =a^8

a=a^8

a*(a^7-1) = 0

1) a1=0

  c^2=0 → c1=0

   b1=0^2 =0

1}x+y=0

2}x+z=0

3} z+y=0

Cложим 1 и 2

2x+y+z=0

2x=0

x=0

y=z=0  аналогично.

2) a^7-1=0

    a=1

    c^2=1 →  c=1   (отрицательные значения нам не подходят)

    b=a^2=1

1}x+y=1

2}x+z=1

3} z+y=1

Cложим 1 и 2

2x+y+z=2

2x=1

x=y=z=1/2 ( из симметрии задачи)

 

Answer 2

Давайте спробуємо розв'язати систему рівнянь:

1. x + y = (y + z)^2
2. x + z = (y + x)^2
3. z + y = (x + z)^2

Ми можемо спростити рівняння, розкривши квадрати:

1. x + y = y^2 + 2yz + z^2
2. x + z = x^2 + 2xy + y^2
3. z + y = x^2 + 2xz + z^2

Тепер давайте спробуємо використовувати ці рівняння для розв'язання системи. Можливо, найзручніше почати з рівняння (1):

x + y = y^2 + 2yz + z^2

Поділимо обидві сторони на (y + z):

(x + y) / (y + z) = (y^2 + 2yz + z^2) / (y + z)

Тепер можемо спростити дільник за допомогою рівняння (3):

(x + y) / (y + z) = (x^2 + 2xz + z^2) / (y + z)

Зараз ми маємо два вирази, які дорівнюють одне одному:

(x + y) / (y + z) = (x^2 + 2xz + z^2) / (y + z)

Зараз ми можемо розглянути випадок, коли x = y. В цьому випадку рівняння стає наступним:

(2x) / (2x + z) = (x^2 + 2xz + z^2) / (2x + z)

Знімаємо спільний множник 2x + z з обох сторін:

1 = x^2 + 2xz + z^2

Це рівняння можна переписати як:

x^2 + z^2 + 2xz - 1 = 0

Тепер ми маємо квадратне рівняння з двома змінними x і z. Можемо спробувати розв'язати його, використовуючи квадратну формулу, а потім знайти відповідне значення y. Однак це може бути складною задачею без конкретних значень або обмежень для x, y і z. Якщо у вас є конкретні значення для цих змінних або додатні обмеження, буде легше продовжити розв'язок.