Question

При каких значениях a уравнение ax 2 − (3a + 1)x + a = 0 имеет два различных действительных корня?

Answer 1

При значении 100хлк
Слід

Answer 2

Для того чтобы уравнение $ax^2 - (3a + 1)x + a = 0$ имело два различных действительных корня, дискриминант этого уравнения должен быть положительным числом. Дискриминант вычисляется по формуле:

$D = (3a + 1)^2 - 4a^2$

Раскроем квадраты:

$D = 9a^2 + 6a + 1 - 4a^2$

Теперь упростим:

$D = 5a^2 + 6a + 1$

Для того чтобы дискриминант был положительным числом, $D > 0$. Решим неравенство:

$5a^2 + 6a + 1 > 0$

Теперь найдем корни этого неравенства, используя квадратное уравнение:

$5a^2 + 6a + 1 = 0$

$a_1$ и $a_2$ - корни этого уравнения, и если неравенство выполнено для $a$ в интервале между этими корнями, то дискриминант положителен, и уравнение имеет два различных действительных корня.

Используя методы решения квадратных уравнений, найдем $a_1$ и $a_2$:

$a_1, a_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

где $a = 5$, $b = 6$, и $c = 1$:

$a_1, a_2 = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Теперь рассчитаем корни:

$a_1, a_2 = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 20}}{10}$

$a_1, a_2 = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{10}$

$a_1, a_2 = \frac{-6 \pm 4}{10}$

Таким образом, получаем два корня:

$a_1 = -1$

$a_2 = -\frac{1}{5}$

Интервал между этими корнями - это интервал, в котором $a$ должно находиться, чтобы дискриминант был положительным и уравнение имело два различных действительных корня:

$-1 < a < -\frac{1}{5}$

Таким образом, при значениях $a$ в интервале $-1 < a < -\frac{1}{5}$ уравнение $ax^2 - (3a + 1)x + a = 0$ имеет два различных действительных корня.