Question

Найдите все значения параметра a, при которых число 1 заключено между корнями уравнения x^2+(a-5)x+a^2-a=0

Answer 1

Ответ: a∈(-2:2)

Объяснение:

Для того, чтобы число р находилось между корнями квадратного трехчлена f(x)=ax²+bx+c, необходимо и достаточно выполнение неравенства a·f(p)<0

1*1²+(a-5)·1+a^2-a<0

1+a-5+a^2-a<0

a^2-4<0

(a-2)·(a+2)<0⇒a∈(-2:2)

Answer 2

f(х)=x²+(a-5)x+a²-a=0

f(1) =1+а-5+а²-а=а²-4=(а-2)*(а+2); первый коэффициент 1 положителен.

По теореме о расположении корней квадратного уравнения

должно выполняться условие 1*f(1)<0, решим неравенство

(а-2)*(а+2)<0 методом интервалов.

________-2_________2_________________

 +                      -                           +

a∈(-2;2)

Answer 3

Для найти значения параметра $a$, при которых число 1 заключено между корнями уравнения $x^2 + (a-5)x + a^2 - a = 0$, давайте воспользуемся дискриминантом и условием, что уравнение имеет корень 1.

Уравнение квадратное и может быть записано в виде $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = (a-5)$, и $c = a^2 - a$. Таким образом, дискриминант ($\Delta$) этого уравнения равен:

$\Delta = b^2 - 4ac$

Если уравнение имеет корень 1, то дискриминант должен быть больше нуля, и 1 должно быть между корнями. Поэтому:

$\Delta > 0$ $b^2 - 4ac > 0$

Подставим значения $a$, $b$, и $c$ в это неравенство:

$(a-5)^2 - 4(1)(a^2 - a) > 0$

Раскроем скобки и упростим:

$a^2 - 10a + 25 - 4a^2 + 4a > 0$

$-3a^2 - 6a + 25 > 0$

$3a^2 + 6a - 25 < 0$

Теперь решим это неравенство. Мы знаем, что дискриминант $D$ квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ связан с характером корней неравенства следующим образом: если $D > 0$, то уравнение имеет два различных действительных корня.

Для уравнения $3a^2 + 6a - 25 = 0$ дискриминант равен:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(3)(-25) = 36 + 300 = 336$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Теперь найдем значения $a$, для которых $3a^2 + 6a - 25 = 0$. Это можно сделать с использованием квадратного уравнения:

$a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$a = \frac{-6 \pm \sqrt{336}}{2(3)}$

$a = \frac{-6 \pm 2\sqrt{84}}{6}$

$a = -1 \pm \frac{\sqrt{84}}{3}$

Таким образом, уравнение $3a^2 + 6a - 25 = 0$ имеет два действительных корня:

$a = -1 + \frac{\sqrt{84}}{3}$ $a = -1 - \frac{\sqrt{84}}{3}$

Поэтому, значения параметра $a$, при которых число 1 заключено между корнями уравнения, будут в интервале:

$-1 - \frac{\sqrt{84}}{3} < a < -1 + \frac{\sqrt{84}}{3}$