Question

Найдите все простые числа р, для которых 16р + 1 = n^3, где n - натуральное число.

Answer 1

Ответ:

307

Объяснение:

$16p=n^3-1\\ 16p=(n-1)(n^2+n+1)$

Т.к. $n^2+n=n(n+1)$ , т.е. произведению 2 последовательных натуральных чисел, то оно четно => $n^2+n+1$ нечетно

Левая часть уравнения делится на $16=2^4$ => (n-1) кратно 16 => $n-1=16k=>n=16k+1,k\in N$

$16p=16k((16k+1)^2+(16k+1)+1)\\ p=k(16^2k^2+32k+1+(16k+1)+1)\\ p=k(16^2k^2+48k+3)$

Т.к. p простое, то ровно один из множителей простое число, а второй равен 1. $(16^2k^2+48k+3)\geq 16^2+48+3>1$ , а значит k=1

Тогда $p=1*(16^2+48+3)=256+51=307$ - действительно простое число. А значит p=307 - решение уравнения

Answer 2

Для решения данной задачи мы можем переписать уравнение в следующем виде:

16р + 1 = n^3

Из этого уравнения видно, что 1 справа имеет остаток 1 при делении на 16, поэтому n^3 также должно иметь остаток 1 при делении на 16. Это означает, что n^3 должно быть кратным 16, и, следовательно, n должно быть кратным 2.

Теперь мы можем представить n как 2k, где k - натуральное число:

16р + 1 = (2k)^3 16р + 1 = 8k^3

Теперь выразим p:

16р = 8k^3 - 1 16р = (2k - 1)(4k^2 + 2k + 1)

Таким образом, мы видим, что 16p является произведением двух чисел (2k - 1) и (4k^2 + 2k + 1). Однако 16p должно быть четным числом, поскольку 16 умноженное на любое число даёт четный результат. Это означает, что одно из двух чисел, (2k - 1) или (4k^2 + 2k + 1), должно быть четным.

1. Если (2k - 1) четное, то можно представить его как 2m, где m - натуральное число:

16p = 2m(4k^2 + 2k + 1)

2p = m(4k^2 + 2k + 1)

Теперь видно, что 2p является произведением двух натуральных чисел и, следовательно, четным числом. Это приводит к противоречию, так как простое число p не может быть четным (за исключением случая, когда p = 2).

2. Если (4k^2 + 2k + 1) четное, то можно представить его как 2m, где m - натуральное число:

16p = (2k - 1)2m

8p = (2k - 1)m

Теперь видно, что 8p является произведением двух натуральных чисел. Это также приводит к противоречию, так как простое число p не может быть четным (за исключением случая, когда p = 2).

Из этого анализа следует, что нет натуральных чисел p, удовлетворяющих уравнению 16p + 1 = n^3, за исключением случая, когда p = 2.