Question

Производная функции y=(x^2+1)^sin2x

Answer 1

Ответ:

$y=(x^2+1)^{sin2x}\\\\lny=sin2x*ln(x^2+1)\\\frac{y'}{y} =cos2x*2*ln(x^2+1)+sin2x*\frac{1*2x}{x^2+1} \\y'=(2cos2x*ln(x^2+1)+\frac{2xsin2x}{x^2+1})*(x^2+1)^{sin2x}$

Объяснение:

Answer 2

Для нахождения производной функции $y = (x^2 + 1)^{\sin(2x)}$, вам понадобится применить правило цепной дифференциации (правило дифференцирования сложной функции). Сначала найдем производные компонентов этой функции.

1. Начнем с внешней функции $u = v^w$, где $u = (x^2 + 1)$ и $w = \sin(2x)$. Производная внешней функции:

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}((x^2 + 1)^{\sin(2x)})$$

2. Теперь найдем производные компонентов внешней функции:

   a. Производная $u = x^2 + 1$:

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x$$

b. Производная $w = \sin(2x)$:

$$\frac{dw}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin(2x)) = 2\cos(2x)$$

3. Теперь, используя правило цепной дифференциации, найдем производную внешней функции $u = v^w$:

$$\frac{du}{dx} = \frac{dv}{dx} \cdot w \cdot v^{w-1}$$

4. Подставим значения производных $v$ и $w$:

$$\frac{du}{dx} = 2x \cdot \sin(2x) \cdot (x^2 + 1)^{\sin(2x) - 1}$$

Таким образом, производная функции $y = (x^2 + 1)^{\sin(2x)}$ равна:

$$\frac{dy}{dx} = 2x \cdot \sin(2x) \cdot (x^2 + 1)^{\sin(2x) - 1}$$