Question

Решите интеграл dx/5+x^2

Answer 1

Ответ:

$\int\limits \frac{dx}{ {x}^{2} + 5} = \int\limits \frac{dx}{ {x}^{2} + {( \sqrt{5} )}^{2} } = \frac{1}{ \sqrt{5} } \arctg( \frac{x}{ \sqrt{5} } ) + C$

Answer 2

Для решения данного интеграла, можно воспользоваться методом замены переменной. Давайте рассмотрим следующую замену:

Пусть t = √5x. Тогда dt/dx = √5 и dx = dt/√5.

Теперь мы можем переписать интеграл, используя эту замену:

∫dx / (5 + x^2) = (1/√5) ∫dt / (5 + (t/√5)^2)

Упростим выражение:

(1/√5) ∫dt / (5 + t^2/5) = (1/√5) ∫dt / (5/5 + t^2/5)

Теперь объединим дроби:

(1/√5) ∫dt / (1 + t^2/5)

Сделаем ещё одну замену: пусть u = t/√5, тогда du = (1/√5)dt.

Интеграл становится:

∫du / (1 + u^2)

Теперь это интеграл от функции, которую можно легко интегрировать, используя арктангенс:

(1/√5) ∫du / (1 + u^2) = (1/√5) * arctan(u) + C

Теперь вернемся к исходной переменной x, используя наши замены:

(1/√5) * arctan(u) + C = (1/√5) * arctan(t/√5) + C

Таким образом, окончательный ответ:

∫dx / (5 + x^2) = (1/√5) * arctan(x/√5) + C

где C - произвольная постоянная интеграции.