Question

При каких значениях параметра а неравенство x²-(3a-4)x+(a-1)(2a-3)>0 выполняется при всех положительных х ??? 100 баллов!!!

Answer 1

Ответ:

при a принадлежит R\{2}- 2действительных корня

при a=2, 1 действительный корень

при a принадлежит пустому множеству- 0 корней

Объяснение:

найдём дискриминант:

D=(3a-4)^2-4(a-1)(2a-3)= a^2-4a+4

далее система:

{a^2-4a+4>0

{a^2-4a+4=0

{a^2-4a+4<0

{a принадлежит R\{2}

{a =2

{a принадлежит пустому множеству

как мф знаем, при D>0 уравнкние имеет 2 корня, при D=0 1 корень, а при D <0 нет корней

D<=0

a^2-4a+4<=0

a=2

Вершина параболы левее или на оси y и младший коэффициент>=0 D>=0

переходим к системе:

{(3a-4)/2<=0

{(a-1)(2a-3)>=0

{a<=4/3

{a принадлежит промежутку от - бесконечности включая 1 объединение от 1.5 до + бесконечности

из этого следует, что а <=1

в ответ записываем а<=1 {2}

Answer 2

Чтобы неравенство $x^2 - (3a - 4)x + (a - 1)(2a - 3) > 0$ выполнялось для всех положительных $x$, необходимо, чтобы его дискриминант был отрицательным, так как это гарантирует, что квадратное уравнение не имеет корней или имеет только мнимые корни. Неравенство будет выполняться для всех положительных $x$, если его корни не пересекаются с осью $x$.

Дискриминант $D$ квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

В данном случае у нас есть уравнение $x^2 - (3a - 4)x + (a - 1)(2a - 3) = 0$, поэтому сравним дискриминант с нулем:

$(3a - 4)^2 - 4(1)((a - 1)(2a - 3)) < 0$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$9a^2 - 24a + 16 - 4(a^2 - 5a + 3) < 0$

$9a^2 - 24a + 16 - 4a^2 + 20a - 12 < 0$

$5a^2 - 4a + 4 < 0$

Это квадратное уравнение имеет положительный коэффициент при $a^2$, следовательно, его знак будет таким же, как знак коэффициента при $a$. Чтобы неравенство $5a^2 - 4a + 4 < 0$ выполнялось, нужно, чтобы коэффициент при $a$ был отрицательным:

$-4a < 0$

$a > 0$

Таким образом, при $a > 0$ неравенство $x^2 - (3a - 4)x + (a - 1)(2a - 3) > 0$ выполняется для всех положительных $x$.