Question

при каких значения параметра а, система уравнений имеет 3 решения (x^2 + (y-7)^2-9)((x-4)^2+(y-3)^2-1)=0, ax-y-4a-2=0

Answer 1

Ответ:

Построим график функцииy=|x+2|+|x-2|y=∣x+2∣+∣x−2∣ 

Для начала упростим функцию

Найдем знаки под модульного выражения

\begin{gathered} \left[\begin{array}{ccc}x+2=0\\ x-2=0\end{array}\right\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}x_1=-2\\ x_2=2\end{array}\right\end{gathered} 

_-__-__(-2)__+__-__(2)__+__+__

\begin{gathered}y=|x+2|+|x-2|= \left[\begin{array}{ccc} \left \{ {{x \leq -2} \atop {-x-2-x+2}} \right. \\ \left \{ {{-2\ \textless \ x \leq 2} \atop {x+2-x+2}} \right. \\ \left \{ {{x\ \textgreater \ 2} \atop {x+2+x-2}} \right. \end{array}\right= \left[\begin{array}{ccc} \left \{ {{x \leq -2} \atop {-2x}} \right. \\ \left \{ {{-2\ \textless \ x \leq 2} \atop {4}} \right. \\ \left \{ {{x\ \textgreater \ 2} \atop {2x}} \right. \end{array}\right\end{gathered} 

Наименьшее положительное значение параметра а найдем с помощью параллельности прямых

График функции y=|x+2|+|x-2|y=∣x+2∣+∣x−2∣параллельный прямой y-ax+a-3=0y−ax+a−3=0 если угловые коэффициенты будут совпадать, т.е. k=\pm2k=±2 

Но нам важен положительный параметр, значит a=2a=2 - минимальный.

Исследуем когда график будет касаться в точке (2;4) и (-2;4)

Подставив значения х=2 и у=4, получим

\begin{gathered}4-2a+a-3=0\\ 1-a=0\\ a=1\end{gathered}4−2a+a−3=01−a=0a=1 

При а=1 система уравнений имеет одно решение

Если подставить x=-2x=−2 и y=4y=4 , получим

\begin{gathered}4+2a+a-3=0\\ 3a=-1\\ a=- \frac{1}{3} \end{gathered}4+2a+a−3=03a=−1a=−31 

Наименьший параметр а=1.

Answer 2

Для того чтобы система уравнений имела 3 решения, уравнение круга в первом уравнении должно пересекаться с прямой во втором уравнении в трех различных точках.

Уравнение круга в первом уравнении: $(x^2 + (y-7)^2-9)((x-4)^2+(y-3)^2-1)=0$

Уравнение прямой во втором уравнении: $ax-y-4a-2=0$

Для нахождения 3 различных точек пересечения, уравнение круга должно иметь две окружности, которые пересекают прямую в трех точках.

Сначала рассмотрим уравнение круга: $(x^2 + (y-7)^2-9)((x-4)^2+(y-3)^2-1)=0$

Данное уравнение представляет собой произведение двух круговых уравнений:

1. $(x^2 + (y-7)^2-9) = 0$, что представляет окружность с центром в точке $(0, 7)$ и радиусом $3$.
2. $(x-4)^2+(y-3)^2-1 = 0$, что представляет окружность с центром в точке $(4, 3)$ и радиусом $1$.

Теперь учтем уравнение прямой: $ax-y-4a-2=0$.

Чтобы найти значения параметра $a$, при которых система имеет 3 решения, необходимо, чтобы прямая пересекала обе окружности в трех различных точках.

Это происходит, когда расстояние между центрами окружностей больше, чем сумма их радиусов, и меньше, чем их разность.

Рассмотрим расстояние между центрами окружностей $(0, 7)$ и $(4, 3)$:

$\sqrt{(4-0)^2 + (3-7)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}.$

Сумма радиусов окружностей $3 + 1 = 4$, а их разность $3 - 1 = 2$.

Таким образом, для 3 решений необходимо, чтобы расстояние между центрами окружностей было больше чем 4 (сумма радиусов) и меньше чем 2 (их разность). Отсюда получаем неравенство:

$2 < \sqrt{32} < 4.$

Решая это неравенство, получаем:

$4 < 32 < 16.$

Таким образом, ни для какого значения параметра $a$ данная система уравнений не имеет 3 различных решений.