Question

Решите уравнение, предварительно подобрав корень: 4x^3 – 3x – 1= 0. Укажите полученные корни.

Answer 1

4x^3 – 3x – 1= 0

угадываем корень 1

4*1³ - 3*1 - 1 = 0

4 - 3 - 1 = 0

0 = 0 корень

ищем другие

4x^3 - 4x^2 + 4x^2 -- 4x + x - 1 = 0

4x^2(x - 1) + 4x(x - 1) + (x - 1) = 0

(x - 1)(4x^2 + 4x + 1) = 0

(x - 1)(2x + 1)^2 = 0

x₁ = 1

x₂ = -1/2

Answer 2

Для решения уравнения 4x^3 - 3x - 1 = 0 сначала мы можем попробовать найти рациональный корень, используя теорему о рациональных корнях (теорема о рациональных корнях утверждает, что любой рациональный корень уравнения с целыми коэффициентами будет делителем свободного члена, в данном случае -1, делителями которого являются ±1).

Попробуем x = 1:

4(1)^3 - 3(1) - 1 = 4 - 3 - 1 = 0

Ура! x = 1 является корнем уравнения.

Теперь мы можем использовать синтетическое деление или метод Горнера, чтобы разложить уравнение на множители:

(4x^3 - 3x - 1) / (x - 1)

Деление даст нам:

4x^2 + 4x + 1

Теперь мы можем решить квадратное уравнение 4x^2 + 4x + 1 = 0.

Для этого давайте используем квадратное уравнение, выразив x через дискриминант:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac, где a = 4, b = 4, и c = 1.

D = (4)^2 - 4 * 4 * 1 = 16 - 16 = 0

Дискриминант равен нулю, что означает, что у нас есть один корень:

x = (-b ± √D) / (2a)

x = (-4 ± √0) / (2 * 4)

x = (-4 ± 0) / 8

x = -4 / 8

x = -1/2

Итак, уравнение 4x^3 - 3x - 1 = 0 имеет два корня:

x = 1 (решение, которое мы нашли первым)

x = -1/2