Question

Cos12x-cos6x-2cos7x*cos5x,если cosх= -корень из 3/3.СРОЧНО НАДО НА СЕГОДНЯ!

Answer 1

Формула произведения косинусов:

$\cos\alpha \cos\beta =\dfrac{1}{2} \left(\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )\right)$

Формула суммы косинусов:

$\cos\alpha+ \cos\beta =2\cos\dfrac{\alpha +\beta }{2} \cos\dfrac{\alpha-\beta }{2}$

Преобразуем:

$\cos12x-\cos6x-2\cos7x\cos5x=$

$=\cos12x-\cos6x-2\cdot\dfrac{1}{2}\left( \cos(7x+5x)+\cos(7x-5x)\right)=$

$=\cos12x-\cos6x-\cos12x-\cos2x=-\cos6x-\cos2x=$

$=-(\cos6x+\cos2x)=-2\cos\dfrac{6x+2x}{2} \cos\dfrac{6x-2x}{2} =-2\cos4x \cos2x=$

$=-2(2\cos^22x-1) \cos2x=-2(2(2\cos^2x-1)^2-1) (2\cos^2x-1)$

Подставим известное значение косинуса $\cos x=-\dfrac{\sqrt{3} }{3}$:

$-2\cdot\left(2\cdot\left(2\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3} }{3}\right)^2 -1\right)^2-1\right)\cdot \left(2\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3} }{3}\right)^2-1\right)=$

$=-2\cdot\left(2\cdot\left(2\cdot\dfrac{1}{3} -1\right)^2-1\right)\cdot \left(2\cdot\dfrac{1}{3}-1\right)=$

$=-2\cdot\left(2\cdot\left(\dfrac{2}{3} -1\right)^2-1\right)\cdot \left(\dfrac{2}{3}-1\right)=-2\cdot\left(2\cdot\left(-\dfrac{1}{3} \right)^2-1\right)\cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right)=$

$=\dfrac{2}{3}\cdot\left(2\cdot\dfrac{1}{9} -1\right)=\dfrac{2}{3}\cdot\left(\dfrac{2}{9} -1\right)=\dfrac{2}{3}\cdot\left(-\dfrac{7}{9} \right)=-\dfrac{14}{27}$

Ответ: -14/27

Answer 2

Давайте вычислим значение выражения cos(12x) - cos(6x) - 2cos(7x)cos(5x), используя значение cos(x) = -√3/3.

1. cos(12x) = cos(2 * 6x) = cos^2(6x) - sin^2(6x) = (cos(6x))^2 - (1 - cos^2(6x)) = 2cos^2(6x) - 1.

2. cos(6x) = cos(2 * 3x) = cos^2(3x) - sin^2(3x) = (cos(3x))^2 - (1 - cos^2(3x)) = 2cos^2(3x) - 1.

3. cos(7x)cos(5x) = (cos(7x))(cos(5x)) = (-√3/3)(-√3/3) = 3/9 = 1/3.

Теперь мы можем заменить значения в исходном выражении:

cos(12x) - cos(6x) - 2cos(7x)cos(5x) = (2cos^2(6x) - 1) - (2cos^2(3x) - 1) - 2(1/3)

Теперь упростим выражение:

2cos^2(6x) - 1 - 2cos^2(3x) + 1 - 2/3

2(cos^2(6x) - cos^2(3x)) - 2/3

Теперь мы можем использовать тригонометрические тождества:

cos(2a) = 2cos^2(a) - 1

где a = 3x. Таким образом, мы можем заменить cos^2(6x) - cos^2(3x) в выражении:

2(cos^2(6x) - cos^2(3x)) - 2/3 = 2(cos(2(3x))) - 2/3

Теперь мы можем подставить значение cos(2a):

2(cos(2(3x))) - 2/3 = 2(cos(6x)) - 2/3

Теперь мы можем подставить значение cos(6x), которое мы ранее вычислили:

2(2cos^2(3x) - 1) - 2/3

Теперь заменяем cos^2(3x) на значение, которое мы ранее вычислили:

2(2(2cos^2(x) - 1) - 1) - 2/3

Теперь заменяем cos(x) на значение -√3/3:

2(2(2(-√3/3) - 1) - 1) - 2/3

Теперь вычисляем это выражение:

2(2(2(-√3/3) - 1) - 1) - 2/3 = 2(2(-2√3/3 - 1) - 1) - 2/3

Рассмотрим этот шаг по частям:

1. 2(-2√3/3 - 1) = -4√3/3 - 2
2. 2(-4√3/3 - 2) - 1 = -8√3/3 - 4 - 1 = -8√3/3 - 5
3. 2(-8√3/3 - 5) - 2/3 = -16√3/3 - 10/3 - 2/3 = -16√3/3 - 4

Итак, значение выражения cos(12x) - cos(6x) - 2cos(7x)cos(5x), когда cos(x) = -√3/3, равно:

-16√3/3 - 4

Пожалуйста, обратите внимание, что я проделал долгие вычисления для получения ответа, и приношу извинения за задержку.