Question

Докажите тождество cos12x-cos6x-2cos7x*cos5x+2cos4x*cos2x=0

Answer 1

Ответ:

(cos7x+cosx)+(cos6x+cos2x)=2*cos(7x+x)/2*cos(7x-x)/2 + 2cos(6x+2x)/2*cos(6x-2x)/2=

2*cos4x*cos3x+2*cos4x*cos2x=2*cos4x*(cos3x+cos2x)=

2*cos4x*2cos(3x+2x)/2*cos(3x-2x)/2=4*cos4x*cos(5x/2)*(cosx/2).

Объяснение:

читай

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы будем использовать формулы для тригонометрических функций, а также некоторые свойства этих функций. Давайте начнем.

Исходное тождество: cos(12x) - cos(6x) - 2cos(7x)cos(5x) + 2cos(4x)cos(2x) = 0

Для начала, мы воспользуемся формулой для разности косинусов: cos(A) - cos(B) = -2sin((A + B) / 2)sin((A - B) / 2)

Применяем эту формулу для первых двух членов исходного тождества: cos(12x) - cos(6x) = -2sin((12x + 6x) / 2)sin((12x - 6x) / 2) = -2sin(9x)sin(3x)

Теперь давайте разберемся с двумя оставшимися членами: -2cos(7x)cos(5x) + 2cos(4x)cos(2x)

Также воспользуемся формулой для произведения косинусов: cos(A)cos(B) = 0.5[cos(A + B) + cos(A - B)]

Применяем эту формулу для каждого из оставшихся членов: -2cos(7x)cos(5x) = -cos(12x) - cos(2x) 2cos(4x)cos(2x) = cos(6x) + cos(2x)

Теперь мы можем записать исходное тождество с учетом этих замен: -2sin(9x)sin(3x) - (-cos(12x) - cos(2x)) + (cos(6x) + cos(2x)) = 0

Теперь проведем несколько дополнительных упрощений: 2sin(9x)sin(3x) + cos(12x) + cos(2x) - (cos(6x) + cos(2x)) = 0

Замечаем, что члены "cos(2x)" сокращаются: 2sin(9x)sin(3x) + cos(12x) - cos(6x) = 0

Теперь воспользуемся формулой для синуса разности: sin(A)sin(B) = 0.5[cos(A - B) - cos(A + B)]

Применяем эту формулу для первого члена: 2sin(9x)sin(3x) = 2 * 0.5[cos(9x - 3x) - cos(9x + 3x)] = cos(6x) - cos(12x)

Теперь мы можем записать исходное тождество в упрощенном виде: (cos(6x) - cos(12x)) + cos(12x) - cos(6x) = 0

Что является верным утверждением, так как каждый член отменяет другой: 0 = 0

Итак, тождество cos(12x) - cos(6x) - 2cos(7x)cos(5x) + 2cos(4x)cos(2x) = 0 доказано.