Question

Розв'яжіть рівняння tg^2(2x)-6tg(2x)+5=0

Answer 1

Смотри........................

Answer 2

Давайте розв'яжемо дане тригонометричне рівняння. Одним зі способів розв'язання є введення заміни. Позначимо $tg(2x)$ як $t$, тоді отримаємо рівняння у вигляді:

$t^2 - 6t + 5 = 0$

Це квадратне рівняння можна розв'язати за допомогою квадратного рівняння або факторизації. Факторизуємо його:

$t^2 - 6t + 5 = (t - 1)(t - 5) = 0$

Таким чином, ми маємо дві можливі заміни для $t$:

1. $t - 1 = 0 \Rightarrow t = 1$
2. $t - 5 = 0 \Rightarrow t = 5$

Повертаємося до заміни $t = tg(2x)$:

1. Для $t = 1$: $tg(2x) = 1$ Розглянемо перший квадрант, де $tg(\theta) = 1$ має розв'язок $\theta = \frac{\pi}{4}$. Також, $tg(\theta)$ має період $\pi$, тому загальний вигляд розв'язку буде: $2x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

2. Для $t = 5$: $tg(2x) = 5$ Розглянемо перший квадрант, де $tg(\theta) = 5$ має розв'язок $\theta = \arctan(5)$. Також, $tg(\theta)$ має період $\pi$, тому загальний вигляд розв'язку буде: $2x = \arctan(5) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{\arctan(5)}{2} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Отже, ми отримали дві послідовності розв'язків для вищезазначеного тригонометричного рівняння.