Question

1 ВАРИАНТ 1. Укажите соответствующий вывод для каждого неравенства. Обоснуйте свой ответ. a) x² + 4x -10 ≤ 0; b) -2x² + 10x - 25 ≤ 0; c) x² + 3x +2< 0; d) x² - 4 > 0. 1) Неравенство не имеет решений. 2) Решением неравенства является вся числовая прямая. 3) Решением неравенства является одна точка. 4) Решением неравенства является закрытый промежуток. 5) Решением неравенства является открытый промежуток. Решением неравенства является объединение двух промежутков. 1​

Answer 1

Ответ:

$\bf a)\ \ x^2+4x-10\leq 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ (x+2)^2-4-10\leq 0\ \ ,\\\\(x+4)^2-14\leq 0\ \ ,\ \ (x+4-\sqrt{14})(x+4+\sqrt{14})\leq 0$  

Нули функции :   $\bf x_1=-4-\sqrt{14}\ ,\ \ x_2=-4+\sqrt{14}$  

Знаки функции на промежутках :

$\bpldsymbol{---[-4-\sqrt{14}\ ]---[-4+\sqrt{14}\ ]+++}$  

Выбираем промежуток со знаком минус .

$\boldsymbol {x\in [-4-\sqrt{14}\ ;\ -4+\sqrt{14}\ ]}$  

Ответ:  №4 , закрытый промежуток .

$\bf b)\ \ -2x^2+10x-25\leq 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 2x^2-10x+25\geq 0$  

Ищем нули функции .

$\bf D/4=(b/2)^2-ac=5^2-2\cdot 25=-25 < 0\ \ \ \Rightarrow$  

Точек пересечения с осью ОХ нет . Так как  а=2>0 , то ветви параболы направлены вверх и её график лежит выше оси ОХ . Следовательно неравенство будет выполняться при любых значениях  х  .

 $\boldsymbol{x\in (-\infty\, ;+\infty \, )}$  

Ответ:  №2 , вся числовая прямая .

$\bf c)\ \ x^2+3x+2 < 0\ \ ,\ \ x_1=-2\ ,\ \ x_2=-1\ \ (teorema\ Vieta)\\\\(x+2)(x+1) < 0$

Знаки функции :  $\boldsymbol{+++(-2)---(-1)+++}$

Выбираем интервал со знаком минус .

$\bf x\in (-2\ ;-1\ )$

Ответ:  №5 , открытый промежуток .

$\bf d)\ \ x^2-4 > 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ (x-2)(x+2) > 0$  

Нули функции :   $\bf x_1=-2\ ,\ x_2=2$  .

Знаки на интервалах :   $\boldsymbol{+++(-2)---(2)+++}$  

Выбираем интервалы со знаками плюс .

 $\boldsymbol{x\in (-\infty \, ;-2\ )\cup (\ 2\ ;+\infty \, )}$  

Ответ:  №6 , объединение промежутков .

Answer 2

Для каждого из неравенств определим, какой из вариантов (1, 2, 3, 4, 5) соответствует его решению.

a) x² + 4x - 10 ≤ 0: Сначала найдем корни квадратного уравнения x² + 4x - 10 = 0: D = 4² - 4 * 1 * (-10) = 16 + 40 = 56. x₁,₂ = (-4 ± √56) / 2 = (-4 ± 2√14) / 2 = -2 ± √14.

Теперь определим знак выражения x² + 4x - 10 для различных интервалов:

1. Если x < -2 - √14, то x² + 4x - 10 > 0.
2. Если -2 - √14 < x < -2 + √14, то x² + 4x - 10 < 0.
3. Если x > -2 + √14, то x² + 4x - 10 > 0.

Теперь посмотрим на неравенство x² + 4x - 10 ≤ 0. Оно удовлетворяет условию 2, так как для интервала (-2 - √14, -2 + √14) данное неравенство выполняется (меньше или равно нулю). Вне этого интервала неравенство не выполняется (больше нуля).

Ответ для a) - 2.

b) -2x² + 10x - 25 ≤ 0: Сначала найдем корни квадратного уравнения -2x² + 10x - 25 = 0: D = 10² - 4 * (-2) * (-25) = 100 - 200 = -100. Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней.

Теперь определим знак выражения -2x² + 10x - 25 для всех значений x:

1. Для всех значений x данное выражение отрицательное.

Неравенство -2x² + 10x - 25 ≤ 0 всегда выполняется для всех x, так как оно всегда меньше или равно нулю.

Ответ для b) - 4.

c) x² + 3x + 2 < 0: Сначала найдем корни квадратного уравнения x² + 3x + 2 = 0: D = 3² - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1. x₁,₂ = (-3 ± √1) / 2 = (-3 ± 1) / 2. x₁ = -2, x₂ = -1.

Теперь определим знак выражения x² + 3x + 2 для различных интервалов:

1. Если x < -2, то x² + 3x + 2 > 0.
2. Если -2 < x < -1, то x² + 3x + 2 < 0.
3. Если x > -1, то x² + 3x + 2 > 0.

Неравенство x² + 3x + 2 < 0 выполняется только для интервала (-2, -1).

Ответ для c) - 5.

d) x² - 4 > 0: Сначала найдем корни квадратного уравнения x² - 4 = 0: D = 4² - 4 * 1 * (-4) = 16 + 16 = 32. x₁,₂ = (4 ± √32) / 2 = (4 ± 4√2) / 2 = 2 ± 2√2.

Теперь определим знак выражения x² - 4 для различных интервалов:

1. Если x < 2 - 2√2, то x² - 4 < 0.
2. Если 2 - 2√2 < x < 2 + 2√2, то x² - 4 > 0.
3. Если x > 2 + 2√2, то x² - 4 < 0.

Неравенство x² - 4 > 0 выполняется для интервала (2 - 2√2, 2 + 2√2).

Ответ для d) - 3.

Итак, ответы: a) - 2 b) - 4 c) - 5 d) - 3