Question

Доведіть, що: 1) a ^ 2 - 6a + 10 > 0 при всіх дійсних значеннях а; 2) 12y - 4y ^ 2 - 11 < 0 при всіх дійсних значеннях у;

Answer 1

1)

$a ^ 2 - 6a + 10 > 0\\\\a^2-6a+9+1 > 0\\\\(a-3)^2+1 > 0$

сума невід’ємного і додатного чисел є додатним числом

2)

$12y - 4y ^ 2 - 11 < 0\\\\-4y^2+12y-9-2 < 0\\\\-(2y-3)^2-2 < 0$

сума від’ємних чисел є від’ємним числом

Answer 2

1. Щоб довести нерівність a^2 - 6a + 10 > 0 при всіх дійсних значеннях a, ми можемо скористатися методом дискримінанта для квадратного рівняння. Дискримінант для квадратного рівняння a^2 - 6a + 10 дорівнює D = b^2 - 4ac, де a = 1, b = -6 і c = 10. Підставляючи ці значення:

D = (-6)^2 - 4 * 1 * 10 D = 36 - 40 D = -4

Дискримінант від'ємний, що означає, що квадратне рівняння a^2 - 6a + 10 не має дійсних коренів. Отже, це рівняння не може бути рівним нулю на жодному значенні a.

Оскільки a^2 - 6a + 10 не має коренів, воно завжди буде більшим за нуль, оскільки усі його значення вищі за нуль. Тобто:

a^2 - 6a + 10 > 0 при всіх дійсних значеннях a.

2. Щоб довести нерівність 12y - 4y^2 - 11 < 0 при всіх дійсних значеннях y, спростимо її.

12y - 4y^2 - 11 < 0

Розподілімо на -1, щоб змінити напрям нерівності:

-12y + 4y^2 + 11 > 0

Тепер ми можемо використати метод дискримінанта для квадратного рівняння 4y^2 - 12y + 11. Для цього рівняння a = 4, b = -12 і c = 11.

D = (-12)^2 - 4 * 4 * 11 D = 144 - 176 D = -32

Дискримінант від'ємний, отже, це квадратне рівняння не має дійсних коренів. Отже, воно не може бути рівним нулю на жодному значенні y.

Таким чином, 4y^2 - 12y + 11 завжди більше нуля, оскільки воно не має коренів і не може бути рівним нулю.

Отже, 12y - 4y^2 - 11 < 0 при всіх дійсних значеннях y.