Question

Сумма трёх чисел,образующих арифметическую прогрессию,равна 21.Найдите эти числа,если известно,что,уменьшив второе из них на 1  и увеличив третье на 1, мы получим геометрическую прогрессию.

Answer 1

Пустьх - первое из чисел, у - разность исходной арифметической прогрессии. Тогда из условия имеем:

х + (х+у) + (х+2у) = 21               х + у = 7

(х+у-1)/х = (х+2у+1)/(х+у-1)      6/х = (8+у)/6

 

у = 7-х                       у = 7-х                    y1 = 4,  y2 = -5  

8х + х(7-х)= 36          x^2 - 15x + 36 = 0    x1 = 3,  x2 = 12

 Соответственно имеем два ответа: 3; 7; 11   и   12; 7; 2.

Answer 2

Давайте обозначим три числа, образующих арифметическую прогрессию, как a, a + d и a + 2d, где "a" - это первое число, а "d" - разность между соседними членами арифметической прогрессии. Таким образом, у нас есть:

1. a - первое число
2. a + d - второе число
3. a + 2d - третье число

Мы знаем, что сумма этих трех чисел равна 21:

a + (a + d) + (a + 2d) = 21

Теперь мы также знаем, что если уменьшить второе число на 1 и увеличить третье на 1, то получим геометрическую прогрессию. Геометрическая прогрессия имеет вид:

a, ar, ar^2, ...

Где "a" - первый член, "r" - множитель между соседними членами.

Из этой информации мы можем сформулировать два уравнения:

1. a + (a + d) + (a + 2d) = 21
2. (a + d - 1) * (a + 2d + 1) = a * (a + d) * (a + 2d)

Теперь давайте решим это систему уравнений. Сначала упростим второе уравнение:

(a + d - 1) * (a + 2d + 1) = a * (a + d) * (a + 2d)

Раскроем скобки:

(a^2 + 3ad + 2d^2 - a - 2d) = (a^3 + 3a^2d + 2ad^2)

Теперь выразим a^2, a^3 и ad через d из первого уравнения (сумма равна 21):

a + (a + d) + (a + 2d) = 21

3a + 3d = 21

a + d = 7

Теперь мы можем заменить a + d на 7 в уравнении:

(7 - 1) * (a + 2d + 1) = 7 * a * (a + d) * (a + 2d)

6 * (7 + 2d + 1) = 7 * 7 * 3d

6 * (8 + 2d) = 147d

48 + 12d = 147d

48 = 135d

d = 48 / 135

d = 16 / 45

Теперь, когда у нас есть значение d, мы можем найти a:

a + d = 7

a + (16 / 45) = 7

a = 7 - (16 / 45)

a = (315 / 45) - (16 / 45)

a = (315 - 16) / 45

a = 299 / 45

Итак, получается, что первое число a = 299/45, второе число a + d = 7, а третье число a + 2d = (299/45) + (32/45).

Поэтому три числа, образующие арифметическую прогрессию и удовлетворяющие условию, равны:

1. a = 299/45
2. a + d = 7
3. a + 2d = (299/45) + (32/45)