Question

Решите систему уравнений: 1 уравнение: (x-y)^2-x+y=0 2 уравнение: x^2*y^2-xy-2=0

Answer 1

X²-xy-2y²=0
x²+y²=20

x²-xy-2y²=0
x²+xy-2xy-2y²=0
x(x+y)-2y(x+y)=0
(x-2y)(x+y)=0

x+y=0
x²+y²=20

x=-y
x²+y²=20

(-y)²+y²=20
y²+y²=20
2y²=20
y²=10

y=-√10 ∨ y=√10

x=√10 ∨ x=-√10

x-2y=0
x²+y²=20

x=2y
x²+y²=20

(2y)²+y²=20
4y²+y²=20
5y²=20
y²=4
y=-2 ∨ y=2

x=2*(-2) ∨ x=2*2
x=-4 ∨ x=4

Answer 2

Давайте решим данную систему уравнений поочередно.

1. Перепишем первое уравнение:

$(x - y)^2 - x + y = 0$

Раскроем квадрат:

$x^2 - 2xy + y^2 - x + y = 0$

Теперь объединим подобные слагаемые:

$x^2 - 2xy + y^2 - x + y = x^2 - x - 2xy + y^2 + y = 0$

Факторизуем:

$x(x - 1) - 2y(x - 1) + y(y + 1) = 0$

$(x - 1)(x - 2y) + y(y + 1) = 0$

Таким образом, у нас есть два возможных случая:

а) $x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1$ б) $x - 2y + y(y + 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad x - 2y + y^2 + y = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2y - y^2 - y$

2. Перепишем второе уравнение:

$x^2 y^2 - xy - 2 = 0$

Мы видим, что это квадратное уравнение относительно переменной $xy$. Давайте заменим $xy$ на другую переменную, например, $z$:

$z^2 - z - 2 = 0$

Факторизуем это квадратное уравнение:

$(z - 2)(z + 1) = 0$

Таким образом, у нас есть два возможных значения для $z$:

а) $z - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad z = 2 \quad \Rightarrow \quad xy = 2$ б) $z + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad z = -1 \quad \Rightarrow \quad xy = -1$

Теперь, используя найденные значения $xy$, мы можем подставить их в уравнение из первого случая:

а) Если $xy = 2$, подставляем в первое уравнение:

$x - 2y + y(y + 1) = 0$ $x - 2y + 2(y + 1) = 0$ $x - 2y + 2y + 2 = 0$ $x + 2 = 0$

Это уравнение не имеет решений.

б) Если $xy = -1$, подставляем в первое уравнение:

$x - 2y + y(y + 1) = 0$ $x - 2y - 1(y + 1) = 0$ $x - 2y - y - 1 = 0$ $x - 3y - 1 = 0$

Таким образом, у нас есть два возможных набора решений:

1. $x = 2y - y^2 - y$ и $xy = -1$.
2. $x = 3y + 1$ и $xy = 2$.

Пожалуйста, обратите внимание, что решения могут быть приближенными, так как выражения довольно сложные.