Question

Докажите формулу (х+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3

Answer 1

 (x+y)³=(x+y)²(x+y)=(x²+2xy+y²)(x+y)=
=x³+2x²y+xy²+x²y+2xy²+y³=x³+3x²y+3xy²+y³

Answer 2

Для доказательства данной формулы мы можем воспользоваться биномом Ньютона. Формула бинома Ньютона выглядит следующим образом:

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$,

где $\binom{n}{k}$ - это биномиальный коэффициент, равный $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае, $a = x$ и $b = y$, а $n = 3$:

$(x + y)^3 = \sum_{k=0}^{3} \binom{3}{k} x^{3-k} y^k$.

Теперь рассмотрим отдельные члены этой суммы:

1. При $k = 0$: $\binom{3}{0} x^{3-0} y^0 = 1 \cdot x^3 \cdot 1 = x^3$.
2. При $k = 1$: $\binom{3}{1} x^{3-1} y^1 = 3 \cdot x^2 \cdot y$.
3. При $k = 2$: $\binom{3}{2} x^{3-2} y^2 = 3 \cdot x \cdot y^2$.
4. При $k = 3$: $\binom{3}{3} x^{3-3} y^3 = 1 \cdot y^3 \cdot 1 = y^3$.

Теперь сложим все эти члены вместе:

$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Мы видим, что выражение $(x + y)^3$ разложилось в сумму, которая идентична данной нам формуле $x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$. Таким образом, мы доказали данную формулу с использованием бинома Ньютона.