Question

Доведите, что при любом значении а выполняется неравенствоа(а - 3) > 5(а - 6)

Answer 1

а(а - 3) > 5(а - 6)

a*(a-3)-5(a-6)>0

a^2-3a-5a+30>0

a^2-8a+30>0

a^2-8a+30=0

D=(-8)^2-4*1*30=64-120=-56===>>дискриминант отрицателен==>>решений нет

a^2-8a+30>0, a=1

Исходя из того, что старший коэффициент а положителен, левая часть неравенства всегда положительна, исходя из выше написанного, выражение  $a^2-8a+30\ \textgreater \ 0$  истинно для любого значения а

Answer 2

Давайте докажем данное неравенство для произвольного значения переменной "а".

Дано неравенство: a(a - 3) > 5(a - 6)

Раскроем скобки: a^2 - 3a > 5a - 30

Переносим все слагаемые влево: a^2 - 3a - 5a + 30 > 0

Сократим подобные слагаемые: a^2 - 8a + 30 > 0

Теперь нам нужно проанализировать, при каких значениях "а" это неравенство будет выполняться. Для этого рассмотрим вершину параболы a^2 - 8a + 30, которая является верхним или нижним выпуклым параболическим графиком (в зависимости от коэффициента a^2).

Вершина параболы имеет координаты x = -b/(2a), где a = 1, b = -8 в нашем случае. Подставим значения: x = -(-8) / (2 * 1) = 4

Теперь подставим x = 4 в уравнение параболы: a^2 - 8a + 30 = 16 - 32 + 30 = 14

Таким образом, вершина параболы находится выше оси x и равна 14.

Поскольку коэффициент a^2 положителен, это означает, что парабола открывается вверх. Это подтверждает, что для всех значений "а" ниже 4 (левее вершины) и для всех значений "а" выше 4 (правее вершины) значение выражения a^2 - 8a + 30 будет больше нуля.

Следовательно, начиная с какого бы значения "а" мы не взяли, данное неравенство a^2 - 8a + 30 > 0 всегда будет выполняться.

Исходное неравенство a(a - 3) > 5(a - 6) также будет выполняться для любых значений "а".